（3）过B作BP⊥AC，
∵△ABC的面积＝即
解得BP＝2， 故答案为：2
，
，
【点评】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键． 22．（10分）如图1，点D、E、F、G分别为线段AB、OB、OC、AC的中点． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）如图2，若点M为EF的中点，BE：CF：DG＝2：3：
，求证：∠MOF＝∠EFO．
【分析】（1）根据中位线定理得：DG∥BC，DG＝BC，EF∥BC，EF＝BC，则DG＝BC，DE∥BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得：四边形DEFG是平行四边形； （2）先根据已知的比的关系设未知数：设BE＝2x，CF＝3x，DG＝
x，根据勾股定理的逆定理得：
∠EOF＝90°，最后利用直角三角形斜边中线的性质可得OM＝FM，由等边对等角可得结论． 【解答】证明：（1）∵D是AB的中点，G是AC的中点， ∴DG是△ABC的中位线， ∴DG∥BC，DG＝BC，
同理得：EF是△OBC的中位线， ∴EF∥BC，EF＝BC， ∴DG＝EF，DG∥EF，
16
∴四边形DEFG是平行四边形； （2）∵BE：CF：DG＝2：3：∴设BE＝2x，CF＝3x，DG＝∴OE＝2x，OF＝3x，
∵四边形DEFG是平行四边形， ∴DG＝EF＝
，
x，
x，
∴OE2+OF2＝EF2， ∴∠EOF＝90°， ∵点M为EF的中点， ∴OM＝MF， ∴∠MOF＝∠EFO．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
23．（10分）已知点A为正方形BCDE内一动点，满足∠DAC＝135°，且b＝（1）求a、b的值；
（2）如图1，若线段AB＝b，AC＝a，求线段AD的长；
（3）如图2，设线段AB＝m，AC＝n，AD＝h，请探究并直接写出三个量m2、n2、h2之间满足的数量关系．
+5．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案；
（2）把△CAD旋转90°得到△CA′B，根据勾股定理求出AA′，求出∠AA′B＝90°，根据勾股定理计算即可；
（3）仿照（2）的计算方法解答．
【解答】解：（1）由二次根式有意义的条件可知，a﹣3≥0，3﹣a≥0， ∴a＝3，b＝5；
（2）把△CAD旋转90°得到△CA′B， 则AC＝A′C，∠A′CB＝∠ACD，AD＝A′B， ∴∠ACA′＝90°， ∴∠AA′C＝45°，AA′＝
＝3
，
17
∴∠AA′B＝90°， ∴A′B＝∴AD＝A′B＝
；
＝
＝
，
（3）由（2）得，AA′＝∴m2﹣2n2＝h2．
n，
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握二次根式的被开方数是非负数、旋转变换的性质是解题的关键．
24．（12分）在正方形ABCD中，点E为边BC（不含B点）上的一动点，AE⊥EF，且AE＝EF，FG⊥BC的延长线于点G． （1）如图1，求证：BE＝FG；
（2）如图2，连接BD，过点F作FH∥BC交BD于点H，连接HE，判断四边形EGFH的形状，并给出证明；
（3）如图3，点P、Q为正方形ABCD内两点，AB＝BQ，且∠ABQ＝30°，BP平分∠QBC，BP＝DP，若BC＝
+1，求线段PQ的长．
【分析】（1）欲证明BE＝FG，只要证明△ABE≌△EGF，即可解决问题；
（2）四边形EGFH是矩形．首先证明四边形ECMH是矩形，可得∠FHE＝∠HEG＝∠EGF＝90°，推出四边形EGFH是矩形；
（3）如图3中，连接PC，作PE⊥BC于E，PF⊥BQ于F．∴由PCB≌△PCD，推出∠PCB＝∠PCD＝45°，可证PE＝EC，设PE＝EC＝a，在Rt△PEB中，由∠PBE＝30°，推出PB＝2PE，BE＝＝
+1，可得
a，由BCa+a＝+1，推出a＝1，再求出FQ、FP即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，
18
∵FG⊥EG，AE⊥EF，四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠AEF＝∠G＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∵AE＝EF， ∴△ABE≌△EGF， ∴BE＝FG．
（2）结论：四边形EGFH是矩形． 理由：如图2中，设FH交CD于M．
∵△ABE≌△EGF， ∴AB＝EG＝BC， ∴BE＝CG＝FG， ∵FM∥CG，FG∥CM，
∴四边形CMFG是平行四边形， ∵GC＝FG，∠MCG＝90°， ∴四边形CMFG是正方形， ∴CM＝CG＝BE， ∵BC＝CD， ∴CE＝DM， ∵FH∥BC，
19
∴∠DMH＝∠DCB＝90°， ∵∠MDH＝45°， ∴∠MDH＝∠MHD＝45°， ∴DM＝HM＝EC， ∵HM∥EC，
∴四边形CEHM是平行四边形， ∵∠ECM＝90°， ∴四边形ECMH是矩形， ∴∠FHE＝∠HEG＝∠EGF＝90°， ∴四边形EGFH是矩形．
（3）如图3中，连接PC，作PE⊥BC于E，PF⊥BQ于F．
∵PB＝PD，PC＝PC，BC＝CD， ∴△PCB≌△PCD， ∴∠PCB＝∠PCD＝45°， ∵PE⊥EC，
∴∠PCE＝∠EPC＝45°， ∴PE＝EC，设PE＝EC＝a， 在Rt△PEB中，∵∠PBE＝30°， ∴PB＝2PE，BE＝∵BC＝∴
+1，
+1，
a，
a+a＝
∴a＝1， ∴PB＝2
在Rt△PFB中，∵∠PBF＝30°， ∴PF＝1，BF＝
，
20
∵BQ＝BQ＝BC＝∴FQ＝1， ∴PQ＝
＝
+1，
．
【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
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[最新]2019-2020学年武汉市硚口区八年级下期中考试数学试卷（有答案）.doc
