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第20讲 圆与圆
知识纵横
圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下二种方法：
1.通过两圆交点的个数确定；
2.通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定。
为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、公切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线。
例题求解
【例1】如图，相距2cm的两点A、B在直线l上，它们分别以2cm/s,1cm/s的速度在l上同时向右平移，当点A、B分别平移到点A1、B1的位置时，半径为1cm的?A1与半径为BB1的?B相切，则点A平移到点A1所用的时间为__________s.
（2011年嵊州市中考题）
思路点拨 两个动圆，?A1移动圆心，?B的半径大小改变，两动圆内切或外切，故应全面讨论。
【例2】如图，圆心为A、B、C的三圆彼此相切，且均与直线l相切。若?A,?B,?C的半径分别为a,b,c(0?c?a?b)，则a,b,c一定满足的关系式为（ ）。
（天津市竞赛题）
111111?? A.2b?a?c B.26?a?c C.?? D.cabcab思路点拨 从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径和分切线的关系，解题的关键
是作圆的基本辅助线。
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【例3】如图①，在矩形ABCD中，AB?20cm,BC?4cm，点P从A开始沿折线
A?B?C?D一以4cm/s的速度移动，点M从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动。如果点P、M分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运
动，设运动时间为t(s)。
（1）t为何值时，四边形APMD为矩形？
（2）如图②，?P,?M的半径都是2cm，那么t为何值时，?P,?M相外切？ （南京市中考题）
思路点拨 对于（1），把相关线段用t的式子表示，利用图形性质建立方程；对于（2），解题的关键是分情况讨论。
【例4】已知?O1与?O2相交于A,B，且?O1的半径为3cm，?O2的半径为5cm. （1）过点B作CD?AB分别交?O1和?O2于C,D两点，连接AD,AC，如图①，试求
AC的值； AD（2）过点B任画一条直线分别交?O1与?O2于E,F，连接AE和AF，如图②，试求的值。
（巴中市中考题）
思路点拨 对于（2），
AEAFAE应与两圆半径相关，需构造相似三角形，利用图①或构造直径AF或联想相交两圆的性质。
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【例5】如图，AOB是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O1在OA上并与弧AB内切于点A，半圆O2的圆心在OB上，并与弧AB内切于B，半圆O1与半圆O2相切，设两半圆的半径之和为x，面积之和为y。
（1）试建立以x为自变量的函数y的解析式； （2）求函数y的最小值。
（太原市竞赛题）
122通过变性把R?r?(R2?r2)，
2用\x?R?r\的代数式表示，作出辅助线；对于（2），因x?R?r，故是在约束条件下求
分析 设两圆O1、O2半径分别为R、r，对于（1）y?y的最小值，解题的关键是求出R?r的取值范围。
化繁为简
【例6】如图，圆A、B的半径都为1，且相互外切。圆P,Q,R,S的半径都为r,且圆P与
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圆A、B、Q、S都分别外切，圆Q与圆P,B,R都分别外切，圆R与圆P,A,R都分别外切，求r的值。
（2011年青少年数学国际城市邀请赛试题）
分析与解 连接圆心、连接切点与圆心，关注由此生成的三角形。如图，连接PS,PA,SA，设
?A、?B相切于T，则
PA2?AT2?PT2?PS2?ST2，即
(r?1)2?12?(r?r)2?(r?2)2，解得r?3?17（负值已舍去）。 2PSATBQR
学力训练
基础夯实
1、?O的半径为3cm,点M是?O外一点，OM?4cm,则以M为圆心且与?O相切的圆的半径是 cm.
（长春市中考题）
2、如图，两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为4和1，则它们与墙的切点A、B间的距离为 。
（绍兴市中考题）
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3、如图，大圆O的半径OC是小圆O1的直径，且有OC垂直于圆O的直径AB，?o1的切线AD交OC的延长线于点E，切点为D，已知?o1的半径为r，则AO1? ；
DE? 。
（杭州市中考题）
4、如图①，O1,O2,O3,O4为四个等圆的圆心，A,B,C,D为切点，请你在图中画出一条线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，
O1,O2,O3,O4,O5为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，
将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．
（天津市中考题）
5、如图，施工工地的水平面上，有三根外径都是1m的水泥管两两摞在一起，则其最高点到地面的距离是 ．
2 1?3 3第B4.1题? C. D.1? 第 5题 A.2 222
6、如图，?O1、?O2外切于A点，半径分别为3r、r，P为O1O2延长线上一点，作直线分别于?O1、?O2相切于D、E两点，则?P的度数为（ ）。
数学培优竞赛新方法（九年级）第21讲圆与圆
