§7.2 一元二次不等式及其解法
最新考纲 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型． 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 考情考向分析 以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.
1．“三个二次”的关系 判别式Δ＝b－4ac 二次函数y＝ax＋bx＋c (a>0)的图象 22Δ>0 Δ＝0 Δ<0 一元二次方程ax＋bx＋c＝0 (a>0)的根 一元二次不等式ax＋bx＋c>0 (a>0)的解集 一元二次不等式ax＋bx＋c<0 (a>0)的解集 2.常用结论
(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法
不等式 解集 222 有两相等实根x1＝x2 没有实数根 有两相异实根x1，x2 (x1
(x－a)·(x－b)>0 (x－a)·(x－b)<0
{x|x f?x? >0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0)． g?x? f?x? ≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. g?x? 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( √ ) (2)若不等式ax＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( √ ) (3)若方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax＋bx＋c>0的解集为R.( × ) (4)不等式ax＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b－4ac≤0.( × ) (5)若二次函数y＝ax＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( √ ) 题组二 教材改编 ?4－x??≤02．[P80A组T4]已知全集U＝R，集合A＝{x|x－x－6≤0}，B＝?x?x＋1??? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?? ?，那么集?? 合A∩(?UB)等于( ) A．[－2,4) C．[－2，－1] 答案 D 解析 因为A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x≥4}， 故?UB＝{x|－1≤x<4}，所以A∩(?UB)＝{x|－1≤x≤3}，故选D. 3．[P80A组T2]y＝log2(3x－2x－2)的定义域是________________． 1－7??1＋7?? 答案 ?－∞，?∪?，＋∞? 3??3??解析 由题意，得3x－2x－2>0， 2 2 B．(－1,3] D．[－1,3] 2 / 16 1－71＋72 令3x－2x－2＝0，得x1＝，x2＝， 33∴3x－2x－2>0的解集为 1－7??1＋7?? ?－∞，?∪?，＋∞?. 3??3??题组三 易错自纠 4．不等式－x－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示) 答案 (－4,1) 解析 由－x－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0， 得－4 22 2 ?11?2 5．若关于x的不等式ax＋bx＋2>0的解集是?－，?，则a＋b＝________. ?23? 答案 －14 112 解析 ∵x1＝－，x2＝是方程ax＋bx＋2＝0的两个根， 23 ab??4－2＋2＝0，∴?ab??9＋3＋2＝0， ∴a＋b＝－14. ??a＝－12， 解得? ?b＝－2，? 6．已知关于x的不等式(a－4)x＋(a＋2)x－1≥0的解集为空集，则实数a的取值范围为____________． 6??答案 ?－2，? 5?? 解析 当a－4＝0时，a＝±2.若a＝－2，不等式可化为－1≥0，显然无解，满足题意；若 2 22 a＝2，不等式的解集不是空集，所以不满足题意；当a≠±2时，要使不等式的解集为空集， ??a－4<0， 则?22 ??a＋2?＋4?a－4?<0，? 2 6 解得－2 5 6??综上，实数a的取值范围为?－2，?. 5?? 题型一 一元二次不等式的求解 3 / 16 命题点1 不含参的不等式 典例 求不等式－2x＋x＋3<0的解集． 解 化－2x＋x＋3<0为2x－x－3>0， 32 解方程2x－x－3＝0，得x1＝－1，x2＝， 2 2 2 2 ?3?2 ∴不等式2x－x－3>0的解集为(－∞，－1)∪?，＋∞?， ?2??3?即原不等式的解集为(－∞，－1)∪?，＋∞?. ?2? 命题点2 含参不等式 典例 解关于x的不等式ax－2≥2x－ax(a∈R)． 解 原不等式可化为ax＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. 2 2 ?2?②当a>0时，原不等式化为?x－?(x＋1)≥0， ? a? 2 解得x≥或x≤－1. a?2?③当a<0时，原不等式化为?x－?(x＋1)≤0. ? a? 22 当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤； aaaa2 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意； 22 当<－1，即－2 a综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； ???2 当a>0时，不等式的解集为?x?x≥或x≤－1 a??? ???2 当－2 ???a ???； ?????； ?? 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； ???2 当a<－2时，不等式的解集为?x?－1≤x≤ a??? ?? ?. ?? 思维升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论． (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论． 4 / 16 (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 跟踪训练 解下列不等式： (1)0 ??x－x－2>0，?2??x－x－2≤4， 2 2 2 2 ???x－2??x＋1?>0， 则????x－3??x＋2?≤0， ?x>2或x<－1，? 可得? ??－2≤x≤3. 借助于数轴，如图所示， ∴原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2 43 ???aa当a＞0时，－＜，解集为?x?x＜－或x＞ 4343??? 2 2 2 2 aaaa ?? ?； ?? 当a＝0时，x＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}； ??a?a当a＜0时，－＞，解集为?x?x＜或x＞－ 3443??? 2 aa?? ?. ?? 综上所述，当a＞0时，不等式的解集为 ??aa? ?x?x＜－或x＞? 43??? ； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； 当a＜0时，不等式的解集为?x?x＜或x＞－? 34??? ? ? aa? . 题型二 一元二次不等式恒成立问题 命题点1 在R上的恒成立问题 5 / 16
高考数学大复习第七章不等式一元二次不等式及其解法学案
