2024年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合M?{x?4?x?2}，N?{xx2?x?6?0?，则MA．{x?4?x?3?
N=
D．{x2?x?3?
B．{x?4?x??2? C．{x?2?x?2?
2．设复数z满足z?i=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
22A．(x+1)?y?1
222222B．(x?1)?y?1 C．x?(y?1)?1 D．x?(y+1)?1
a?log20.2，b?20.2，c?0.20.3，则 3．已知 A．a?b?c
B．a?c?b
C．c?a?b
D．b?c?a
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
5?15?1≈0.618，（22称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5?1．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长2度为26cm，则其身高可能是
A．165cm 5．函数f(x)=
B．175cm C．185cm D．190cm
sinx?x在[??,?]的图像大致为 2cosx?x
B．
A．
C． D．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A．
5 16B．
11 32C．
21 32
D．
11 167．已知非零向量a，b满足|a|?2|b|，且(a?b)?b，则a与b的夹角为 A．
π 6B．
π 3C．
2π 3D．
5π 68．如图是求
12?12?12的程序框图，图中空白框中应填入
A．A=
1 2?AB．A=2?1 AC．A=
1
1?2AD．A=1?1 2A9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4?0，a5?5，则 A．an?2n?5
an?3n?10 B． 2C．Sn?2n?8n
D．Sn?12n?2n 210．已知椭圆C的焦点为F1(?1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|?2|F2B|，
|AB|?|BF1|，则C的方程为
x2?y2?1 A．2x2y2??1 B．32x2y2??1 C．43x2y2??1 D．5411．关于函数f(x)?sin|x|?|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数
②f(x)在区间（
?2，?）单调递增
③f(x)在[??,?]有4个零点 其中所有正确结论的编号是 A．①②④
B．②④
④f(x)的最大值为2
C．①④ D．①③
12．已知三棱锥P?ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F
分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A．86?
B．46?
C．26?
D．6?
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2x13．曲线y?3(x?x)e在点(0，0)处的切线方程为____________．
214．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1?，a4?a6，则S5=____________．
1315．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前
期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
x2y216．已知双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线
ab分别交于A，B两点．若F1A?AB，F1B?F2B?0，则C的离心率为____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。 17．(12分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB?sinC)2?sin2A?sinBsinC．
（1）求A；
（2）若2a?b?2c，求sinC． 18．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A?MA1?N的正弦值． 19．（12分）
已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程； （2）若AP?3PB，求|AB|． 20．（12分）
已知函数f(x)?sinx?ln(1?x)，f?(x)为f(x)的导数．证明： （1）f?(x)在区间(?1,)存在唯一极大值点； （2）f(x)有且仅有2个零点． 21．（12分）
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，
3的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P． 2?2若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得?1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得?1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i?0,1,,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认
为甲药比乙药更有效”的概率，则p0?0，p8?1，pi?api?1?bpi?cpi?1(i?1,2,,7)，其中
a?P(X??1)，b?P(X?0)，c?P(X?1)．假设??0.5，??0.8．
(i)证明：{pi?1?pi}(i?0,1,2,,7)为等比数列；
(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
?1?t2x?，?2?1?t（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为??y?4t?1?t2?正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2?cos??3?sin??11?0． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1）
111???a2?b2?c2； abc333（2）(a?b)?(b?c)?(c?a)?24．
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理科数学?参考答案
一、选择题
1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D 二、填空题
[高考试题]2024年全国高考理科数学试题（全国I卷）及详解
