第三讲 函数的图象与性质
1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系
两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数． 2．函数的单调性
(1)单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，
f?x1?－f?x2?
那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?>0?f(x)在[a，b]上是增函数；
x1－x2
f?x1?－f?x2?
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?<0?f(x)在[a，b]上是减函数．
x1－x2
(2)若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)也是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f[g(x)]的单调性． 3．函数的奇偶性
(1)f(x)为奇函数?f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0；f(x)为偶函数?f(x)＝f(－x)＝f(|x|)?f(x)－f(－x)＝0.只有当定义域关于原点对称时，这个函数才能具有奇偶性．
(2)f(x)是偶函数?f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是奇函数?f(x)的图象关于原点对称． (3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．
(4)若f(x＋a)为奇函数?f(x)的图象关于点(a,0)中心对称；若f(x＋a)为偶函数?f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(5)在f(x)，g(x)的公共定义域上：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶， 奇×偶＝奇． 4．函数的周期性的结论
(1)若y＝f(x)在x∈R时，f(x＋a)＝f(x－a)恒成立，则函数f(x)的周期为2|a|.
1
(2)若y＝f(x)在x∈R时，f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝±恒成立，则函数y＝f(x)的周期为
f?x?2|a|. 5．函数的图象
对于函数的图象要会作图、识图、用图．
作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
重要结论：(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．
a＋b
(2)若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
2(3)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数图象关于点(a，b)成中心对称．
1． (2013·江西)函数y＝xln(1－x)的定义域为
A．(0,1) 答案 B
?1－x>0?
解析 由?得，函数定义域为[0,1)．
?x≥0?
( )
B．[0,1) C．(0,1] D．[0,1]
1
2． (2013·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于 ( )
x
A．－2 答案 A
解析 f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.
x3
3． (2013·四川)函数y＝x的图象大致是
3－1
B．0
C．1
D．2
( )
答案 C
x3
解析 由3－1≠0得x≠0，∴函数y＝x的定义域为{x|x≠0}，可排除选项A；当x
3－1
?－1?3364
＝－1时，y＝＝>0，可排除选项B；当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝，但1280－13
x
从选项D的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.
4． (2013·北京)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，
则f(x)等于 A．ex1 C．e
－x＋1＋
－
( )
B．ex1 D．e
－x－1
答案 D
解析 与y＝ex图象关于y轴对称的函数为y＝ex.依题意，f(x)图象向右平移一个单位，得y＝ex的图象．∴f(x)的图象由y＝ex的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e
－1
－
－
－(x＋1)
－
＝e
－x
.
5． (2013·江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x
的
解集用区间表示为________． 答案 (－5,0)∪(5，＋∞)
解析 由已知f(0)＝0，当x<0
时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x，因此
2??x－4x，x≥0
f(x)＝?2
?－x－4x，x<0?
???x≥0?x<0
?不等式f(x)>x等价于2或?2
??x－4x>x，?－x－4x>x?
解得：x>5或－5 题型一 函数及其表示 f?2x? 例1 (1)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是 ln x ( ) A．[0,1] B．[0,1) C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1) ?2x＋a，x<1，? (2)已知实数a≠0，函数f(x)＝?若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为______． ?－x－2a，x≥1.? 审题破题 (1)f(2x)有意义要求2x在f(x)的定义域内；(2)解题的关键是考虑f(1－a)和f(1＋a)需要代入解析式的哪一段，因而需讨论1－a和1＋a与1的大小关系，即a与0的大小关系，构造关于a的方程求解． 3 答案 (1)D (2)－ 4 解析 (1)因为f(x)的定义域为[0,2]，所以对g(x)，0≤2x≤2，且x>0，x≠1，故x∈(0,1)． (2)首先讨论1－a,1＋a与1的关系， 当a<0时，1－a>1,1＋a<1， 所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a； f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2. 因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2， 3 所以a＝－； 4当a>0时，1－a<1,1＋a>1， 所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a； f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1. 因为f(1－a)＝f(1＋a)，
专题2 函数的图象与性质【高考文科数学】含答案
