第三讲 函数的图象与性质
1.函数的三要素:定义域、值域、对应关系
两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数,定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数. 2.函数的单调性
(1)单调性的定义的等价形式:设x1,x2∈[a,b],
f?x1?-f?x2?
那么(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?>0?f(x)在[a,b]上是增函数;
x1-x2
f?x1?-f?x2?
(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?<0?f(x)在[a,b]上是减函数.
x1-x2
(2)若函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,f(x)+g(x)是减函数;若函数f(x)和g(x)都是增函数,则在公共定义域内,f(x)+g(x)也是增函数;根据同增异减判断复合函数y=f[g(x)]的单调性. 3.函数的奇偶性
(1)f(x)为奇函数?f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=0;f(x)为偶函数?f(x)=f(-x)=f(|x|)?f(x)-f(-x)=0.只有当定义域关于原点对称时,这个函数才能具有奇偶性.
(2)f(x)是偶函数?f(x)的图象关于y轴对称;f(x)是奇函数?f(x)的图象关于原点对称. (3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性.
(4)若f(x+a)为奇函数?f(x)的图象关于点(a,0)中心对称;若f(x+a)为偶函数?f(x)的图象关于直线x=a对称.
(5)在f(x),g(x)的公共定义域上:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶, 奇×偶=奇. 4.函数的周期性的结论
(1)若y=f(x)在x∈R时,f(x+a)=f(x-a)恒成立,则函数f(x)的周期为2|a|.
1
(2)若y=f(x)在x∈R时,f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=±恒成立,则函数y=f(x)的周期为
f?x?2|a|. 5.函数的图象
对于函数的图象要会作图、识图、用图.
作函数图象有两种基本方法:一是描点法,二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.
重要结论:(1)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称.
a+b
(2)若f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称.
2(3)若函数y=f(x)满足f(x)=2b-f(2a-x),则该函数图象关于点(a,b)成中心对称.
1. (2013·江西)函数y=xln(1-x)的定义域为
A.(0,1) 答案 B
?1-x>0?
解析 由?得,函数定义域为[0,1).
?x≥0?
( )
B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]
1
2. (2013·山东)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)等于 ( )
x
A.-2 答案 A
解析 f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.
x3
3. (2013·四川)函数y=x的图象大致是
3-1
B.0
C.1
D.2
( )
答案 C
x3
解析 由3-1≠0得x≠0,∴函数y=x的定义域为{x|x≠0},可排除选项A;当x
3-1
?-1?3364
=-1时,y==>0,可排除选项B;当x=2时,y=1,当x=4时,y=,但1280-13
x
从选项D的函数图象可以看出函数在(0,+∞)上是单调递增函数,两者矛盾,可排除选项D.故选C.
4. (2013·北京)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,
则f(x)等于 A.ex1 C.e
-x+1+
-
( )
B.ex1 D.e
-x-1
答案 D
解析 与y=ex图象关于y轴对称的函数为y=ex.依题意,f(x)图象向右平移一个单位,得y=ex的图象.∴f(x)的图象由y=ex的图象向左平移一个单位得到.∴f(x)=e
-1
-
-
-(x+1)
-
=e
-x
.
5. (2013·江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x
的
解集用区间表示为________. 答案 (-5,0)∪(5,+∞)
解析 由已知f(0)=0,当x<0
时,f(x)=-f(-x)=-x2-4x,因此
2??x-4x,x≥0
f(x)=?2
?-x-4x,x<0?
???x≥0?x<0
?不等式f(x)>x等价于2或?2
??x-4x>x,?-x-4x>x?
解得:x>5或-5 题型一 函数及其表示 f?2x? 例1 (1)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是 ln x ( ) A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1) ?2x+a,x<1,? (2)已知实数a≠0,函数f(x)=?若f(1-a)=f(1+a),则a的值为______. ?-x-2a,x≥1.? 审题破题 (1)f(2x)有意义要求2x在f(x)的定义域内;(2)解题的关键是考虑f(1-a)和f(1+a)需要代入解析式的哪一段,因而需讨论1-a和1+a与1的大小关系,即a与0的大小关系,构造关于a的方程求解. 3 答案 (1)D (2)- 4 解析 (1)因为f(x)的定义域为[0,2],所以对g(x),0≤2x≤2,且x>0,x≠1,故x∈(0,1). (2)首先讨论1-a,1+a与1的关系, 当a<0时,1-a>1,1+a<1, 所以f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a; f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2. 因为f(1-a)=f(1+a),所以-1-a=3a+2, 3 所以a=-; 4当a>0时,1-a<1,1+a>1, 所以f(1-a)=2(1-a)+a=2-a; f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1. 因为f(1-a)=f(1+a),