动手操作，亲身体验，提升思维
——《烙饼问题》教学案例分析及思考
【案例背景】
人教版课标实验教材数学第七册第七单元“数学广角”的教学内容来源于学生周围熟悉的生活，因此学生在学习“数学广角”过程中较有兴趣。《数学广角——烙饼问题》就是以“烙饼”这一常见的生活原态为载体，构建了理想化的“问题模型”：一个锅每次只能烙2张饼，两面都要烙，每面都要烙3分钟。需要3张饼，怎样才能尽快吃上饼？本节课立足于培养学生良好的思维能力,从学生已有的生活经验和知识基础出发,创设问题情境，让学生借助学具动手操作，经历探索“烙饼”中数学知识的过程，通过学生对各种不同的解决方法的分析、比较，理解优化的思想，形成了从多种方法中寻找最佳方法的意识，进而渗透统筹、优化、转化等数学思想方法，提高解决问题的能力。这节课的重点是体会解决问题的优化思想，难点是如何让学生认识到解决问题策略的多样性，探究解决问题的最优方案。为了实现难点的突破，笔者在过程中，让学生通过动手操作，亲身体验，从而对问题模型进行分析，理解问题的本质，体验优化的前提和过程，突出学习重点。
【案例描述】 片段一：
1、创设情境，探究烙1张饼和2张饼的方法。 （1）理解题意，设疑铺垫
师（课件出示“妈妈的提示语”）：你瞧，小丽妈妈已经开始烙饼了，你能从图中获得哪些数学信息？
生1：每次只能烙两张饼，两面都要烙，每面3分钟。 师追问：“每次只能烙两张饼”中“只能”是什么意思？ 生2：锅里最多只能烙两张饼。 课件归纳学生反馈信息
师提出问题：上课前老师统计了一下我们教室里的人数，咱们班级的同学加在座的听课老师总共有33人，现在给每个人都烙一张饼，我想大家都有点饿了，该怎么样烙才可以让我们每个人都能尽快地吃上饼呢，需要多少时间？（给学生一定的时间思考问题）
师：同学们心里已经有自己的想法了，那到底该如何烙这33张饼才可以做到合理地利用时间，让每个人尽快吃上饼？我们可以先从数量少的开始烙。
2、操作感知，探究烙1张饼和2张饼的方法。
师：假如烙一张饼该怎么烙，需要多少时间？利用你手中的圆片模拟烙一烙。
生1（边演示边回答）：先烙饼1的正面，再烙饼1的反面，总共烙两次，需要6分钟。（板书：1张 6分钟）
师：妈妈说烙1张饼多简单，如果现在烙两张饼该怎么烙，需要多少时间？
生2（边演示边回答）：两张饼一起烙，先烙饼1、饼2的正面，三分钟后，再烙饼1、饼2的反面，烙了两次，总共6分钟。（板书：2张 6分钟）
师：为什么烙1张饼和2张饼的时间是相同的？ 生3：烙2张饼的时候，2张饼是一起放在锅里烙的。
师：就如这位同学说的，烙2张饼时，锅里同时烙2张饼，需要烙2次，因此烙2张饼的时间跟烙1张饼的时间相同，都是6分钟。（板书：同时烙。）
（设计意图：从学生生活实际中抽象出数据“33”，让学生体会数学源于生活，运用于生活，激发学生学习数学的兴趣。同时从一个相对较大的数“33”开始烙饼，再从数量少的出发，学生在此过程中体会用化繁为简的思想来解决数学问题,这仅是第一步,第二步则需对烙1张饼和2张饼的问题进行求解，操作的活动为后续探讨3张烙饼的方法奠定基础。） 片段二：
1、合作交流，探究烙3张饼的方法及时间。 师：看，小丽进来了，她说了什么？（学生读题） 师：现在妈妈需要烙几张饼？ 生：3张。
师：妈妈该怎样烙才能让三个人尽快吃到饼？请同学们自己先独立思考下，再与搭档合作，拿出三张圆片模拟烙饼烙一烙。(教师巡视)
学生反馈结果。
生1：我用9分钟烙好了3张饼。 生2：我用了12分钟。
师：用了12分钟的派一个代表上台来展示一下你是怎么烙的。
生3演示如下图：
第一次 第二次 第三次 第四次 生4演示如下图：
第一次 第二次 第三次 饼1 正 反 饼2 正 反 饼3 正 反 饼1 正 反 饼2 正 反 饼3 正 反 师：确实是一个办法，我们再听听烙了9分钟的同学们的意见。
师：这些烙法中，你喜欢哪种，为什么？ 生：第二种方法。（9分钟）
教师边演示边讲解，像这样三个饼的正反面交替着烙的方法我们给它取个名字：交替烙饼法（板书）。
全班演示交替烙饼法。
师：都是烙三张饼，为什么用交替烙饼法最省时间？ 生5：每次烙的时候锅里都有2张饼。 师：谁听明白了？
生6：第一种方法中，先烙好了饼1和饼2 ，最后剩下饼3一张在锅里。而第二种方法中，锅里都是占满的。
师：我们在保证每次锅里同时都有两张饼，不让这口锅空下来，就可以做到省时，同时也能做到合理利用资源。
课件再次展示交替烙饼法。
小结：刚才我们对3个饼的烙法进行了深入的研究，发现三个饼的正反面交替着烙，保证锅里同时有两张饼就可以得出一种最省时间的烙法，这是解决问题的一种优化的思考方法，大家真了不起。我们一起再归纳下烙2张饼和3张饼的最佳方法（课件展示表格）。
拓展延伸：4张、5张、6张、7张饼如何烙最省时间，需要多少时间？
（设计意图：小学生对新鲜的具体事物感兴趣,善于记忆具体的事实,而不善于记忆抽象的内容，因此在探讨烙3张饼的过程中，不断让学生自己动手烙一烙，主动参与到解决问题中既调动气氛，同时
又能借助烙圆片探索问题的解决方法。） 片段三：
讨论6张饼的烙法。
师：6张饼该怎么烙用时最短呢？
生1：两张两张地烙，烙6次，需要18分钟。
生2：把6张分成3张和3张，用交替烙饼法，烙6次，需要18分钟。
师：这两种方法都可行，并且用时都是最短的。你们喜欢哪一种方法？
师：你们喜欢哪种方法就小组合作烙一烙。（学生小组合作） 师：现在请你们再用另一种方法烙一烙。（学生小组合作） 师：你们喜欢哪一种方法，为什么？
生3：两张两张烙，因为这样烙比较方便，如果三张三张烙容易弄混了。
师：这两种方法都是可以的，同学们可以在操作中感受到两种方法的优劣，你可以根据自己的喜好进行选择。 片段四：
1、运用练习，巩固新知
现在能给在座的33人快速烙好饼了么？ 课件出示114页做一做第1题。
师：现在美味餐厅的厨师也遇到了难题，餐厅里来了三位客人，每人点了两个菜，而餐厅里只有两位厨师，假设两个厨师做每个菜的时间都相等，怎样安排炒菜的顺序才比较合理呢？
1、引领理解题意。 2、小组合作交流。 3、学生上台演示
生1、生2担任厨师，生3、生4和生5扮演客人。演示如下图:
第一次 第二次 第三次 生3 生1上菜 生1上菜 生4 生2上菜 生2上菜 生5 生2上菜 生1上菜 （设计意图：小学生的理解、记忆还建立在学生的直观操作、动手实践上。在此环节我结合教材练习，让学生自己操作，学生通过自己的亲身感受，自我探索获取解决问题的方法。学到的数学知识需应
用于现实生活中，在学生扮演展示的过程中把抽象的数学问题形象化、直观化有利于帮助学生理解知识。）
【案例分析】
1、循序渐进，活学活用
儿童的学习必须以丰富的感性材料为前提，素材需符合学生的心理需求和认知规律。本节课教学过程中围绕现实生活中“烙饼”这一简单事例，让学生认识到解决问题策略的多样性，探究解决问题的最优方案。首先，学生独立提取数学信息：每次最多烙两张饼，两面都要烙，每面烙的时间都是3分钟。初步猜测烙33张饼所需的最短时间，继而化繁而简，从烙1张饼和2张饼出发。教学的重点放在探究烙3张饼最优解环节，学生通过操作——反馈——优化的学习方法，探索出3张饼的最佳烙法。在探索4张~10张饼的烙法时，学生已经积累了烙3张饼的活动经验和表象，通过上述梯度学习，学生有效地感知到饼数与烙饼所需最短时间之间的关系，并及时予以归纳，整理，有助于学生建立“烙饼问题”的数学模型。到此学生可以利用规律解决烙33张饼所需的最短时间这个问题。最后通过练习环节的演示，巩固本节课的新知，体会解决问题的优化思想。
2、动手操作，亲身体验
在动手操作中体验知行统一。数学来源于现实，也必须扎根现实，并且应用于现实。“烙饼问题”来源于学生的生活实际，本节课学生便要从“烙饼”这一常见事例中经历烙饼最佳烙法的产生过程，体会解决问题的优化思想以及探究解决问题的最优解。如何让学生将知识根深蒂固地扎根在脑海中，也就只有让学生自己去亲身感受、自我探索。因此在本节课设置了多次操作环节，学生自己动手操作，使每一个学生都能够有机会近距离观察，调用各种感官全面搜集信息，这是包括多媒体在内的其他教学媒介无法比拟的。
如：（1）引导学生操作“如果烙2张饼，怎么烙可以最省时？”在操作过程中要求学生们做到边演示边讲解，初步体验锅里一次最多可以烙两张。（2）烙3张饼是突破口，通过个别同学的展示，其他同学对比自己的方法，引导学生通过对现象分析发现烙3张饼时间不同的原因，加深学生对问题模型的认识：保证锅里空间不闲置。然后全班再次演示交替烙饼法。（3）小组在演示书本“114页做一做第1题”中，运用本节课所学知识，实际演示上菜的过程，真正落实知识与实践相结合，做到知行统一。
在动手操作中实现策略优化。不同的学生有不同的的思维方式，因此不同的学生解决同一问题会有不同的方法。在初步探索烙3张饼的方法中，学生动手操作后反馈不同的烙饼方法，烙四次或者三次，通过同一问题情境的不同策略的对比，引发学生反思“这些烙法中，你喜欢哪种，为什么？”从而凸显交替烙饼法的优，体现策略优化。再如“烙6张饼该怎么烙？”生1：“两张两张地烙，烙6次，需要18分钟。”生2：“把6张分成3张和3张，用交替烙饼法，烙6次，需要18分钟。”两位同学的方法都可行，并且两者都是最省时。为了让学生感受两种方法的优劣，让小组合作先选择自己喜欢的方式烙一烙，再用另一种方法烙一烙。此时已经不用教师多讲解，学生通过操作能感受到，虽然两种方法用时都是最短的，但是“两张两张烙”较为方便，而“分三张三张烙”显得复杂些。就这样，学生通过动手操作，亲身体验，具体而深刻地感受了优化的本质内涵。
《数学广角 - 烙饼问题》教学案例分析及反思
