高等数学定积分的应用

授课单元12教案

授课单元名称 定积分的应用 授课学时 6 单元教学 目标 理解微元法的思想，掌握用微元法分析并知识目标 解决有关面积、体积、变力作功、物体质量、液体压力等实际问题。 能建立常见的实际应用及专业相关的积分能力目标 模型，并计算。 主要教学 知识点 用微元法分析并解决有关面积、体积、变力作功、物体质教学难点 量、液体压力等实际问题。 定积分的微元法，利用微元法求变力做功、液体对平面薄板的侧压力。 教材处理 教学资源 教学方法与手段 《分层数学》李德才《高等数学》侯风波 电子教案、课件 利用微元法求平面图启发式、讲练结合 考核 形的面积、旋转体的体案例教学、多媒体 评价点 积，变力作功、液体平 面薄板的侧压力。 强调微元的求法 参考资料 教学内容 课题1用定积分求平面图形的面积

一、微元法

在本章第1节定积分概念的两个实例（曲边梯形的面积和变速直线运动的路程）中，我们是先把所求整体量进行分割，然后在局部范围内“以不变代变”，求出整体量在局部范围内的近似值，即表成乘积f(?i)?xi的形式；再把这些近似值加起来，得到整体量的近似值；最后，当分割无限加密时取和式的极限得定积分

． ?f?x?dx?lim?f????x（即整体量）

a??0iii?1bn事实上，对于求几何上和物理上的许多非均匀分布的整体量都可以用这种方法计算．但在实际应用时，为了方便，一般把计算在区间?a,b?上的某个量Q的定积分的方法简化成下面的两步：：

（1） 确定积分变量x，求出积分区间[a,b]

（2） 在区间[a,b]上，任取一小区间[x,x?dx] ，并在该小区间上找出所求量Q的微分元素

dQ＝f(x)dx

（3） 写出所求量Q的定积分表达式 Q??f(x)dx

ab用以上两步来解决实际问题的方法称为元素法或微元法．下面我们就用元素法来讨论定积分在几何、物理和经济学中的一些应用． 二、在直角坐标系下求平面图形的面积

1、．由y?f(x)，x?a,x?b及ox轴所围成图形面积公式 A??baf(x)dx

d1?、x??(y),y?c,y?d及y轴所围成图形面积公式A??c?(y)dy

例 求曲线y?x与直线x??1,x?2及x轴所围成的图形面积 解 s??3?0?1x3dx??x3dx?0217 42、由两条连续曲线y?y2?x?和y?y1?x??y1?x??y2?x??与直线x?a,x?b(a?b)所围成平面图形（如图1）的面积A???y2?x??y1?x??dx

ab

图1 图2

2?、由两条连续曲线x?x2?y?和x?x1?y??x1?y??x2?y??与直线y?c,y?d(c?d)所

围成平面图形(如图2)的面积 A??[x2(y)?x1(y)]dy

cd2例 （1）计算由两条抛物线y?x和y?x所围成图形的面积．

2（2）求由曲线y?sinx,y?cosx及直线x?0，x??所围成的平面图形的面积(如图4).

图3 图4

解 （1）第一步画图求交点，解方程组

2??y?x，两抛物线的交点为O?0,0?和B?1,1? ?2??y?x第二步 取横坐标x为积分变量，则积分区间为?0,1?

第三步A???1021211x?xdx ?[x2?x3]1???（平方单位）. 0333332?3（2）解方程组??40?y?sinx?(0?x??)得x?，于是

4?y?cosx? A??(cosx?sinx)dx???(sinx?cosx)dx

4?4??[sinx?cosx]?[?cosx?sinx]??22（平方单位）

024例 计算由抛物线y?2x和直线y?x?4所围成的图形面积．

图5

解 这个图形如图5所示．首先求出所给直线与抛物线交点，为此，解方程组

?y?x?4 ?2?y?2x得两组解x1?2,y1??2;x2?8,y2?4．即所求交点为?2,?2?，?8,4?．本题选横坐标x为积分变量时，计算较为复杂．因此，应该选取纵坐标y为积分变量，所求面积为

y2112??A???y?4?y?dy =[?4y?y3] =18（平方单位）．

?2226???244练习

1、求正弦曲线y?sinx,x?[0,3?]和直线x?3?及x轴所围成的平面图形的面积。

22（答案3）

2、求曲线y?x和直线y?2x?8所围成的平面图形的面积。（答案36） 小结 用定积分求平面图形面积的步骤：

（1）画草图，准确找出所求面积的图形，求曲线交点。

（2）选择积分变量，确定积分区间，把所求面积表示成定积分。 （3）计算定积分。

三、小结： 1、定积分的元素法 2、平面图形面积公式 作业 上册 p185 1（1）--（10）

2课题2用定积分求体积

一、平形截面为已知的立体体积

设有一立体，被垂直于x轴的平面所截得到的截面面积为A(x)，a?x?b,且A(x)是x的连续函数，求该立体的体积。

在区间[a,b]上任取一点x，已知截面面积是A(x)， 设厚度是微分dx，则在点x的体积微元 dV?S(x)dx,立体体积为A??baA(x)dx

1y?yta?n 2例 一平面经过半径为R的圆柱体的底面圆心，并且与底面夹角为?，求截得的楔形的体积。 解 建立如图坐标系，x积分变量，区间[?R,R] A(x)? v?R12113R2322(R?x)tan?dx?tan?(Rx?x)?Rtan? ??R2?R233?Rox?yR

二、旋转体的体积

x

1、连续曲线y?f?x?，直线x?a,x?b以及x轴所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周所形成的旋转体（图１）的体积．

图1 图2

取积分变量为x，x ? [a,b] ，过点x且垂直于x轴的截面是以f(x)为半径的圆，其面积 是A(x)??f(x)，于是得旋转体的体积为 V??2?baf2(x)dx２、由连续曲线x??(y)、直线y?c、y?d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周

V????2(y)dycd