初，张咏在成都，闻准入相，谓其僚属曰：寇公奇材，惜学术不足尔。及准出陕，咏适自成都罢还，准严供帐，大为具待。咏将去，准送之郊，问曰：何以教准？咏徐曰：《霍光传》不可不读也。准莫谕其意，归，取其传读之，至不学无术，笑曰：此张公谓我矣。
高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案：第二讲第1
节第1课时参数方程的概念-含答案(1)
[核心必知]
1．参数方程
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程．
联系变量x，y的变数t叫做参变数，简称参数． 2．普通方程
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
[问题思考]
1．参数方程中的参数t是否一定有实际意义？
提示：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
2．曲线的参数方程一定是唯一的吗？
提示：同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样．如
欧阳修，字永叔，庐陵人。四岁而孤，母郑，守节自誓，亲诲之学。家贫，至以荻画地学书。幼敏悟过人，读书辄成诵。及冠，嶷然有声。修始在滁州，号醉翁，晚更号六一居士。天资刚劲，见义勇为，虽机阱在前，触发之不顾。放逐流离，至于再三，志气自若也。1 / 9
初，张咏在成都，闻准入相，谓其僚属曰：寇公奇材，惜学术不足尔。及准出陕，咏适自成都罢还，准严供帐，大为具待。咏将去，准送之郊，问曰：何以教准？咏徐曰：《霍光传》不可不读也。准莫谕其意，归，取其传读之，至不学无术，笑曰：此张公谓我矣。
和(m∈R) 都表示直线x＝2y＋1.
已知曲线C的参数方程是(t为参数)．
(1)判断点M1(0，－1)和M2(4，10)与曲线C的位置关系； (2)已知点M(2，a)在曲线C上，求a的值．
[精讲详析] 本题考查曲线的参数方程及点与曲线的位置关系．解答此题需要将已知点代入参数方程，判断参数是否存在．
??x＝2t，(1)把点M1的坐标代入参数方程?
??y＝3t2－1，??0＝2t，得? ??－1＝3t2－1，∴t＝0.即点M1在曲线C上．
??x＝2t，把点M2的坐标代入参数方程?
??y＝3t2－1，得方程组无解．即点M2不在曲线C上．
??2＝2t，(2)∵点M(2，a)在曲线C上，∴?
??a＝3t2－1.
∴t＝1，a＝3×12－1＝2.即a的值为2.
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已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线上，就是将点的坐标代入曲线的参数方程，然后建立关于参数的方程组，如果方程组有解，则点在曲线上；否则，点不在曲线上．
1．已知曲线(θ为参数，0≤θ<π)，则下列各点A(1，3)，B(2，2)，C(－3，5)在曲线上的点是________．
解析：将A(1，3)点代入方程得θ＝0；将B、C点坐标代入方程，
欧阳修，字永叔，庐陵人。四岁而孤，母郑，守节自誓，亲诲之学。家贫，至以荻画地学书。幼敏悟过人，读书辄成诵。及冠，嶷然有声。修始在滁州，号醉翁，晚更号六一居士。天资刚劲，见义勇为，虽机阱在前，触发之不顾。放逐流离，至于再三，志气自若也。
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初，张咏在成都，闻准入相，谓其僚属曰：寇公奇材，惜学术不足尔。及准出陕，咏适自成都罢还，准严供帐，大为具待。咏将去，准送之郊，问曰：何以教准？咏徐曰：《霍光传》不可不读也。准莫谕其意，归，取其传读之，至不学无术，笑曰：此张公谓我矣。
方程无解，故B、C点不在曲线上．
答案：A(1，3)
如图，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰长为a，顶点B、A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程．
[精讲详析] 本题考查曲线参数方程的求法，解答本题需要先确定参数，然后分别用同一个参数表示x和y.
法一：设P点的坐标为(x，y)，过P点作x轴的垂线交x轴于Q.
如图所示，则Rt△OAB≌Rt△QBP. 取OB＝t，t为参数(0＜t＜a)． ∵|OA|＝，∴|BQ|＝.
∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为
??x＝t＋a2－t2，?(0＜t＜a) ??y＝t，法二：设点P的坐标为(x，y)，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如图所示．
取∠QBP＝θ，θ为参数(0＜θ＜)，则∠ABO＝－θ. 在Rt△OAB中，|OB|＝acos (－θ)＝asin θ. 在Rt△QBP中，|BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ. ∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为
??x＝a（sin θ＋cos θ），(θ为参数，0＜θ＜)． ???y＝asin θ.
欧阳修，字永叔，庐陵人。四岁而孤，母郑，守节自誓，亲诲之学。家贫，至以荻画地学书。幼敏悟过人，读书辄成诵。及冠，嶷然有声。修始在滁州，号醉翁，晚更号六一居士。天资刚劲，见义勇为，虽机阱在前，触发之不顾。放逐流离，至于再三，志气自若也。
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推荐高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案：第二讲第1节第1课时参数方程的概念-含答案(1)
