.
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全
（06数列）
一、选择题
1．（2018北京文、理）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率f，则第八个单音频率为（ ）
A．32f B．322f C．1225f D．1227f
1．【答案】D
【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为122，?an?122an?1?n?2，n?N??， 又a1?f，则a8?a1q7?f??1227?1227f，故选D．
2．（2018浙江）已知a1,a2,a3,a4成等比数列，且a1?a2?a3?a4?ln(a1?a2?a3)．若a1?1，则（ ） A．a1?a3,a2?a4 B．a1?a3,a2?a4 C．a1?a3,a2?a4 D．a1?a3,a2?a4
2．.答案：B
解答：∵lnx?x?1，
∴a1?a2?a3?a4?ln(a1?a2?a3)?a1?a2?a3?1，
3得a4??1，即a1q??1，∴q?0.
2若q??1，则a1?a2?a3?a4?a1(1?q)(1?q)?0，
a1?a2?a3?a1(1?q?q2)?a1?1，矛盾.
22∴?1?q?0，则a1?a3?a1(1?q)?0，a2?a4?a1q(1?q)?0.
∴a1?a3，a2?a4.
a1?2，3． （2018全国新课标Ⅰ理）记Sn为等差数列?an?的前n项和.若3S3?S2?S4，则a5?（ ）
A．?12 B．?10
C．10 D．12
3. 答案：B 解答：
3?24?33(3a1??d)?2a1?d?4a1??d?9a1?9d?6a1?7d?3a1?2d?022?6?2d?0?d??3，∴a5?a1?4d?2?4?(?3)??10.
二、填空
1．（2018北京理）设?an?是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则?an?的通项公式为__________． 1．【答案】an?6n?3 【解析】Qa1?3，?3?d?3?4d?36，?d?6，?an?3?6?n?1??6n?3．
2．（2018江苏）已知集合A?{x|x?2n?1,n?N*}，B?{x|x?2n,n?N*}．将AUB的所有元素从
小到大依次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn?12an?1成立的n的最小值为 ▲ ．
.
2．【答案】27
【解析】设an=2k，
k?1?+?2?22?L?2k? 则Sn??2?1?1+2?2?1+L?2?2?1??????????2k?11?2?2k?1?121?2k???22k?2?2k?1?2，
21?2????由Sn?12an?1得22k?2?2k?1?2?12?2k?1?，?2k?1??20?2k?1??14?0，2k?1?25，k?6，所
2以只需研究25?an?26是否有满足条件的解，
2525?1此时Sn????2?1?1?+?2?2?1?+L??2m?1???+??2?2?L?2???m?2?2，an+1?2m?1，m为等差数列项数，且m?16．
由m2?25?1?2?12?2m?1?，m2?24m?50?0，?m?22，n?m?5?27， 得满足条件的n最小值为27．
3 （2018上海）记等差数列?an? 的前几项和为Sn，若a??0，a8?a7?14，则S7= 。
4. （2018上海）设等比数列{项和为Sn。若limn??Sn1?，则an?12
}的通项公式为an=q?+1（n∈N*），前n
q=____________
5.答案：?63
5．（2018全国新课标Ⅰ理）记Sn为数列?an?的前n项和.若Sn?2an?1，则S6?_____________．
?Sn?2an?1,解答：依题意，?作差得an?1?2an，所以{an}为公比为2的等比数列，又因
S?2a?1,n?1?n?1?1?(1?26)n?1??63. 为a1?S1?2a1?1，所以a1??1，所以an??2，所以S6?1?2
.
三、解答题
1．（2018北京文）设?an?是等差数列，且a1?ln2，a2?a3?5ln2．
（1）求?an?的通项公式； （2）求ea?ea?L?ea．
1．【答案】（1）nln2；（2）2n?1?2．
【解析】（1）设等差数列?an?的公差为d，Qa2?a3?5ln2，?2a1?3d?5ln2，
12n又a1?ln2，?d?ln2，?an?a1??n?1?d?nln2． （2）由（1）知an?nln2，Qea?enln2?eln2?2n， ??ea?是以2为首项，2为公比的等比数列，
nnn?ea1?ea2?L?ean?eln2?eln2?L?eln2=2?22?L?2n=2n?1?2，
2n?ea1?ea2?L?ean=2n?1?2．
2. （2018上海） 给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意n?N*，都有|bn?an|?1，则称{bn}与{an} “接近”。
（1）设{an}是首项为1，公比为的等比数列，bn?an?1?1，n?N*，判断数列{bn}是否与{an}接近，并说明理由；
（2）设数列{an}的前四项为：a?=1，a ?=2，a ?=4，
=8，{bn}是一个与{an}接近的
数列，记集合M={x|x=bi，i=1,2,3,4},求M中元素的个数m；
（3）已知{an}是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在b?-b?，b?-b?，…b201-b200中至少有100个为正数，求d的取值范围。
.
3．（2018江苏）设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q的等比数列．
（1）设a1?0,b1?1,q?2，若|an?bn|?b1对n?1,2,3,4均成立，求d的取值范围；
（2）若a1?b1?0,m?N*,q?(1,m2]，证明：存在d?R，使得|an?bn|?b1对n?2,3,L,m?1均成立，并求d的取值范围（用b1,m,q表示）．
?75?3．【答案】（1）d的取值范围为?,?；
?32??b1qm?2bqm?（2）d的取值范围为?,1?，证明见解析．
mm????【解析】（1）由条件知：an??n?1?d，bn?2n?1．
??因为an?bn?b1对n?1，2，3，4均成立， 即?n?1?d?2n?1?1对n?1，2，3，4均成立， 即1?1，1?d?3，3?2d?5，7?3d?9，得
75?d?． 32?75?因此，d的取值范围为?,?．
?32?（2）由条件知：an?b1??n?1?d，bn?b1qn?1．
若存在d，使得an?bn?b1（n?2，3，L，m?1）成立， 即b1??n?1?d?b1qn?1?b1（n?2，3，L，m?1），
qn?1?2qn?1b1?d?b1． 即当n?2，3，L，m?1时，d满足
n?1n?11?qn?1?qm?2， 因为q?1,m2?，则??qn?1qn?1?2b1?0，b1?0，对n?2，3，L，m?1均成立． 从而
n?1n?1因此，取d?0时，an?bn?b1对n?2，3，L，m?1均成立．
?qn?1?2??qn?1?下面讨论数列??的最大值和数列??的最小值
?n?1??n?1?（n?2，3，L，m?1）．
nn?1nqn?2qn?1?2nqn?qn?nqn?1?2n?q?q??q?2①当2?n?m时，， ???nn?1n?n?1?n?n?1?当1?q?2时，有qn?qm?2，从而n?qn?qn?1??qn?2?0．
1m?qn?1?2?因此，当2?n?m?1时，数列??单调递增，
?n?1??qn?1?2?qm?2故数列?． ?的最大值为
mn?1??②设f?x??2x?1?x?，当x?0时，f??x???ln2?1?xln2?2x?0， 所以f?x?单调递减，从而f?x??f?0??1．
.
qn1qn?1??1??1?n???21??f?1， 当2?n?m时，n????n?1qn?n??n?n?1?qn?1?因此，当2?n?m?1时，数列??单调递减，
?n?1??qn?1?qm故数列?． ?的最小值为
mn?1???b1?qm?2?bqm?因此，d的取值范围为?,1?．
mm????
4．（2018浙江）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列
{bn}满足b1=1，数列{（bn+1?bn）an}的前n项和为2n2+n． （Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
4.答案：（1）q?2；（2）bn?15?4n?3. 2n?21?1，舍去）. 2解答：（1）由题可得a3?a4?a5?28，2(a4?2)?a3?a5，联立两式可得a4?8. 所以a3?a4?a5?8(?1?q)?28，可得q?2（另一根
1q22（2）由题可得n?2时，(bn?1?bn)an?2n?n?[2(n?1)?(n?1)]?4n?1，
当n?1时，(b2?b1)a1?2?1?3也满足上式，所以(bn?1?bn)an?4n?1，n?N?,
4n?14n?1?n?1， an237114n?5所以bn?b1?(b2?b1)?(b3?b2)?L?(bn?bn?1)?0?1?2?L?n?2，
22224n?3错位相减得bn?b1?14?n?2，
24n?3所以bn?15?n?2.
2n?4n?1而由（1）可得an?8?2?2，所以bn?1?bn?
5．（2018天津文）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6． （Ⅰ）求Sn和Tn；
（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．
n?n?1?5．【答案】（1）Sn?，Tn?2n?1；（2）4．
2【解析】（1）设等比数列?bn?的公比为q，由b1?1，b3?b2?2，可得q2?q?2?0． 1?2n因为q?0，可得q?2，故bn?2．所以，Tn??2n?1．
1?2设等差数列?an?的公差为d．由b4?a3?a5，可得a1?3d?4．由b5?a4?2a6，
n?1可得3a1?13d?16，从而a1?1，d?1，故an?n，所以，Sn?
n?n?1?2．
2018年度全国各地高考~数学试题~及解答分类汇编大全(06数列)
