高三数学单元练习题：集 合
第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代
号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）. 1．若A、B、C为三个集合，A?B?B?C，则一定有
A．A?C
B．C?A
C．A?C
D．A??
（ ）
2．含有三个实数的集合可表示为{a， 的值为
A．0
B．1
b220062006
，1}，也可表示为{a， a+b，0}，则a+ba
C．－1
2
D．±1
（ ）
3．若集合M?{x||x|?2},N?{x|x?3x?0}，则M∩N=
（ ）
A．{3} B．{0} C．{0，2} D．{0，3}
4．已知全集I＝{0，1，2}，满足CI（A∪B）＝{2}的A、B共有的组数为（ ） A．5B．7C．9 D．11 5．设集合M={x|x=
k1k1?，k∈Z}，N={x|x=?，k∈Z}，则 2442（ ）
A．M=N B．MN C．MN D．M∩N=?
6．对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定（a，b）＝（c，d）当且仅当a＝c，b ＝d；运算“?”为：(a,b)?(c,d)?(ac?bd,bc?ad)，运算“?”为：(a,b)?(c,d) ?(a?c,b?d)，设p,q?R，若(1,2)?(p,q)?(5,0)则(1,2)?(p,q)?
（ ）
A．(4,0) B．(2,0) C．(0,2) D．(0,?4)
7．设A?B?C?{1,2,3,4,5}，且A?B?{1,3}，符合此条件的（A、B、C）的种数（ ）
A．500
B．75
2
C．972 D．125
8．设集合P={m|－1＜m≤0}，Q={m∈R|mx+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关 系中成立的是
A．PQB．QPC．P=QD．P∩Q=Q
D．4
（ ） （ ）
9．设集合A?{x0?x?3且x?N}的真子集的个数是 ．．．
A．16
B．8；
C．7
10．设集合A???x,y?|x,y,1?x?y是三角形的三边长?，则A所表示的平面区域（不含边界
的阴影部分）是
1 / 6
（）
A． B． C． D． 11．函数f（x）=??x,x?P,其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定f（P）=
??x,x?M, {y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}.给出下列四个判断：
①若P∩M=?，则f（P）∩f（M）=?；②若P∩M=?，则f（P）∩f（M）= ?； ③若P∪M=R，则f（P）∪f（M）=R； ④若P∪M≠R，则f（P） ∪f（M）≠R. 其中正确判断有 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．设数集M=｛x| m≤x≤m+3｝， N=｛x|n－41≤x≤n｝， 且M 、N都是集合｛x|0≤x≤1｝3的子集， 如果把b－a叫作集合｛x| a≤x≤b｝的“长度”， 那么集合M∩N的“长度”的最小值是 （ ） A．
第Ⅱ卷
二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）. 13．1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共
有个.
14．同时满足条件：①M?{1,2,3,4,5};②若a?M,则6－a?M，这样的集合M有个。 ×表示运算符号）15．对任意两个正整数m、n，定义某种运算（用○：当m、n都是正偶数或
都是正奇数时，m×○n＝m＋n；当m、n－奇－偶时，则m×○n＝mn，则在上述定义下，集
×n＝36}中的元素个数为. 合M＝{（m、n）| m○
16．非空集合G关于运算?满足：
（1）对任意a,b?G，都有a?b?G；
（2）存在e?G，使得对一切a?G，都有a?e?e?a?a，则称G关于运算?为“融
洽集”；现给出下列集合和运算： ①G??非负整数?,?为整数的加法； ②G??偶数?,?为整数的乘法；
③G??平面向量?,?为平面向量的加法； ④G??二次三项式?,?为多项式的加法； ⑤G??虚数?,?为复数的乘法。
其中G关于运算?为“融洽集”____ _.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共74分）.
2 / 6
1 3B．
215 C． D． 3121217．（12分）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果赞成A的人数是全体的五
分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人。 18．（12分）设A?{xx?4x?0},B?{xx?2(a?1)x?a?1?0},若B?A，求实数a的取值范围。
2
19．（12分）已知集合A={（x，y）|x+mx－y+2=0}，B={（x，y）|x－y+1=0，0≤x≤2}，
如果A∩B≠?，求实数m的取值范围。 20．（12分）已知集合MD是满足下列性质函数f(x)的全体：若函数f(x)的定义域为D，
对于任意的x1,x2?D（x1?x2），有|f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|。
（I）当D=(0,??)时，f(x)?lnx是否属于MD，若属于MD，给予证明。否则说明
理由；
（II）当D=(0,2223)时，函数f(x)?x3?ax?b时，若f(x)?MD，求实数a的取值3范围。
21．（12分）已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作
Sn122*
）|n∈N}，B={（x，y）| x－y=1，x，y∈R}。
4n 试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明： （I）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； （II）A∩B至多有一个元素；
（III）当a1≠0时，一定有A∩B≠?。
Sn，设集合A={（an，
22．（14分）A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数?(x)组成的集合：①对任意
x?[1,2]，都有?(2x)?(1,2) ； ②存在常数L(0?L?1)，使得对任意的x1,x2?[1,2]，都有|?(2x1)??(2x2)|?L|x1?x2|。
（I）设?(x)?31?x,x?[2,4]，证明：?(x)?A；
（II）设?(x)?A，如果存在x0?(1,2)，使得x0??(2x0)，那么这样的x0是唯一的； （III）设?(x)?A，任取xl?(1,2)，令xn?1??(2xn),n?1,2,???,证明:给定正整数k，
对任意的正整数p，成立不等式|xk?l
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Lk?1?xk|?|x2?x1|。
1?L
参考答案（1）
一、选择题
1．A；2．B；3．B；4．C；5．B；6．B；7．A；8．C；9．C；10．A；11．B；12．C。 二、
13．54；14．8；15．41；16．①③。 三、
17．解：赞成A的人数为50×
3=30，赞成B的人数为30+3=33， U5AB如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全 X33-X30-X体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B。
X+1设对事件A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成3x的学生人数为+1，赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞
3成B而不赞成A的人数为33－x.
x依题意（30－x）+（33－x）+x+（+1）=50，解得x=21。所以对A、B都赞成的同学
3有21人，都不赞成的有8人.
18．解：由A?{xx2?4x?0}?{xx?0或x??4}?{0,?4}. ∵B?A，∴B??或B?{0}或B?{?4}或B?{0,?4}.
当B??时，即x?2(a?1)x?a?1?0无实根，由??0， 即4(a?1)?4(a?1)?0，解得a??1；
22220?0＝a?1?a??1； 当B?{0}时，由根与系数的关系：0?0＝－2(a?1)，当B?{?4}时，由根与系数的关系：?4?4＝－2(a?1)，(-4)?(?4)＝a?1?a??；
220?(?4)＝a?1?a?1； 当B?{0,?4}时，由根与系数的关系：0?4＝－2(a?1)，综上所得a?1或a??1.
2?x2?mx?y?2?0,2
19．解：由?得x+（m－1）x+1=0①
?x?y?1?0(0?x?2),∵A∩B≠?，∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.
2
首先，由Δ=（m－1）－4≥0，得m≥3或m≤－1.
当m≥3时，由x1+x2=－（m－1）＜0及x1x2=1知，方程①只有负根，不符合要求；
当m≤－1时，由x1+x2=－（m－1）＞0及x1x2=1＞0知，方程①有两个互为倒数的正根故必有一根在区间（0，1）内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.
综上所述，所求m的取值范围是（－∞，－1）.
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20．解：（1）因为f?(x)?
即|1，所以x?(0,1)时，f?(x)?1?|f?(x)|?1， xf(x1)?f(x2)|?1. 当x1,x2?(0,1)时，y?lnx?MD；
x1?x232 （2）由f(x)?x?ax?b?f?(x)?3x?a，
3)时，a?f?(x)?1?a，因为f(x)?MD， 3f(x1)?f(x2)|?1； 所以|f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|，即|x1?x2当x?(0,?a??1所以???1?a?0即为所求.
1?a?1?评析：本题应用常规解法，解答较为繁琐；若用导数的几何意义，则十分简单。
n(a1?an)S1，则n?（a1+an），这表明点（an，2n2SnS111）的坐标适合方程y?（x+a1），于是点（an，n）均在直线y=x+a1上。
22nn211?y?x?a1??22 （2）正确；设（x，y）∈A∩B，则（x，y）中的坐标x，y应是方程组?的?1x2?y2?1??42*
解，由方程组消去y得：2a1x+a1=－4（），
*
当a1=0时，方程（）无解，此时A∩B=?；
21．解：（1）正确；在等差数列{an}中，Sn=
当a1≠0时，方程（）只有一个解x=
*
?4?a12a122??4?a1?y?2a1，，此时，方程组也只有一解? ?2?y?a1?4?4a1?故上述方程组至多有一解. ∴A∩B至多有一个元素.
（3）不正确；取a1=1，d=1，对一切的x∈N，有an=a1+（n－1）d=n>0，
Sn >0，这时n集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0 如果A*
?4?a12??∩B≠?，那么据（2）的结论，A∩B中至多有一个元素（x0，y0），而x0=
2a152a1?x03这样的（x0，y0）?A，产生矛盾，故a1=1，d=1时A∩B=?，?＜0，
24所以a1≠0时，一定有A∩B≠?是不正确的.
＜0，y0=
22．解：（1）对任意x?[1,2]，?(2x)?31?2x,x?[1,2]，
33??(2x)?35，1?33?35?2，所以?(2x)?(1,2)
对任意的x1,x2?[1,2]，
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(完整word版)高三数学一轮复习单元练习题集合
