（2011高考备战冲刺指导）高考数学考前必看系列材料之一
基本知识篇
一、集合与简易逻辑
1.研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如：?x|y?lgx?与?y|y?lgx?及
?(x,y)|y?lgx?
2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；
3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；
4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其否命题是等价命题 ，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；
5.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系\A?B?B?A\判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；
6.（1）含n个元素的集合的子集个数为2，真子集（非空子集）个数为2－1； （2）A?B?A?B?A?A?B?B; （3）
nnCI(A?B)?CIA?CIB,CI(A?B)?CIA?CIB;
二、函数
1.复合函数的有关问题
（1）复合函数定义域求法：若已知f(x)的定义域为［a，b］,其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域（即 f(x)的定义域）；研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定； 2.函数的奇偶性
（1）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=f(x);
（2）若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)?0（可用于求参数）； （3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或
f(?x)??1（f(x)≠0）; f(x) (4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；
（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；
3.函数图像（或方程曲线的对称性）
(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；
（2）证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上，反之亦然；
（3）曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);
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（4）曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0;
（5）若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a－x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称； （6）函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x=
a?b对称； 24.函数的周期性
(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x－a) 或f(x－2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数；
（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数；
（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数；
（4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2a?b的周期函数；
（5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2a?b的周期函数；
（6）y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= ?1，则y=f(x)是周期为2a的周期
f(x)函数；
5.方程k=f(x)有解?k∈D(D为f(x)的值域)；
6.a≥f(x) 恒成立?a≥［f(x)］max,; a≤f(x) 恒成立?a≤［f(x)］min;
logbN( a>0,a≠1,b>0,b≠1); logba(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 ); 8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
9.判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A中元素必须都有象且唯一；（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象；
10.对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的反函数也是奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;（4）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；(5) y=f(x)与
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y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f-1(x)]=x(x∈B),f-1[f(x)]=x(x∈A).
11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；
12.恒成立问题的处理方法：（1）分离参数法；（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解；
13.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：
7.（1）logab?loganbn (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N=
?f(a)?0?f(a)?0f(u)?g(x)u?h(x)?0(或?0)(a?u?b)??（或?）；
f(b)?0f(b)?0??ax?bb?aca?a?(b?ac?0);y?x?(a?0)的图象和性质； 14.掌握函数y?x?cx?cx函数 ax?bb?acay??a?y?x?(a?0） (b – ac≠0) x?cx?cx
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定义域 值域 奇偶性 单调性 (??,?c)?(c,??) (??,a)?(a,??) 非奇非偶函数 当b-ac>0时:分别在(??,?c),(c,??)上单调递减； 当b-ac<0时:分别在(??,?c),(c,??)上单调递增； y y=a x=－c o x 2(??,0)?(0,??) (??,?2a]?[2a,??) 奇函数 在(??,?a],[a,??)上单调递增； 在[?a,0),(0,a]上单调递减； y 图象 o x 15．实系数一元二次方程f(x)?ax?bx?c?0(a?0)的两根x1,x2的分布问题： 根的情况 等价命题 x1?x2?k 在(k,??)上有两根 m?x1?x2?n 在(m,n)上有两根 x1?k?x2 在(k,??)和(??,k)上各有一根 ????0?充要条件 ?f(k)?0 ?b???k?2a???0?f(m)?0?? ?f(n)?0??m??b?n??2af(k)?0 注意：若在闭区间[m,n]讨论方程f(x)?0有实数解的情况，可先利用在开区间(m,n)上实根分布的情况，得出结果，在令x?n和x?m检查端点的情况。
三、数列
1.由Sn求an，an={
S1(n?1)Sn?Sn?1(n?2,n?N)* 注意验证a1是否包含在后面an 的公式中，若不
符合要单独列出。一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式；
2.等差数列｛an｝?an?1?an?d(d为常数）?2an?an?1?an?1(n?2)?an?an?b?sn?An2?Bn；
an?13.等比数列｛an｝?n?1?q(q为常数）?an2?an?1an?1(n?2)?an?a1q；
an4.首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转
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an?0??an?0?解决； 化为解不等式??或??????an?1?0??an?1?0?5.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式
时，勿忘分类讨论思想；
6. 在等差数列中，an?am?(n?m)d，d?an?am；在等比数列中，
n?man?amqn?m,q?n?man; am7. 当m?n?p?q时，对等差数列有am?an?ap?aq；对等比数列有
am?an?ap?aq；
8.若{an}、{bn}是等差数列，则{kan+pbn}(k、p是非零常数)是等差数列；若{an}、{bn}是等比数列，则｛kan｝、{anbn}等也是等比数列；
9. 若数列{an}为等差（比）数列，则Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,也是等差（比）数列； 10. 在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶－S奇?nd；项数为奇数2n?1时，
S奇?S偶?a中（即an）；
11.若一阶线性递归数列an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形
式:an?b?k(an?1?b)(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；
k?1k?1四、三角函数
1.三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦； 2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；
3.记住同角三角函数的基本关系，熟练掌握三角函数的定义、图像、性质；
4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于1800，一般用正余弦定理实施边角互化；
5.正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点；正(余)切型函数的对称中心是图象和渐近线分别与x轴的交点，但没有对称轴。
6.（1）正弦平方差公式：sin2A－sin2B=sin(A+B)sin(A－B);（2）三角形的内切圆半径r=2S?ABC；（3）三角形的外接圆直径2R=
sinAa?b?ca?bc?; sinBsinC五、平面向量
1.两个向量平行的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),?为实数。（1）向量式：a∥b(b≠0)?a=?b;（2）坐标式：a∥b(b≠0)?x1y2－x2y1=0;
2.两个向量垂直的充要条件, 设a=(x1,y1),b=(x2,y2), （1）向量式：a⊥b(b≠0)?a?b=0; （2）坐标式：a⊥b?x1x2+y1y2=0;
3.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a?b=abcos?=x1x2+y1y2;其几何意义是a?b等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积； 4.设A（x1,x2）、B(x2,y2)，则S⊿AOB＝5.平面向量数量积的坐标表示：
1x1y2?x2y1； 24 / 9
（1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a?b=x1x2+y1y2;AB?（2）若a=(x,y),则a2=a?a=x2+y2,a?(x1?x2)2?(y1?y2)2;
?x2?y2;
六、不等式
1.掌握不等式性质，注意使用条件；
2.掌握几类不等式（一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式）的解法，尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法，零点分区间法； 3.掌握用均值不等式求最值的方法，在使用a+b≥2ab(a>0,b>0)时要符合“一正二定三
a2?b2a?b2a?b2相等”；注意均值不等式的一些变形，如?();ab?()；
222七、直线和圆的方程
1.设三角形的三顶点是A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3）,则⊿ABC的重心G为（x1?x2?x3,y1?y2?y3）；
332.直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2: A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0；
C1?C23.两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是d?；
22A?B4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件 ：A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0； 5.过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2;
6.以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0;
7.求解线性规划问题的步骤是：（1）根据实际问题的约束条件列出不等式；（2）作出可行域，写出目标函数；（3）确定目标函数的最优位置，从而获得最优解；
八、圆锥曲线方程
221.椭圆焦半径公式：设P（x0,y0）为椭圆x2?y2?1（a>b>0）上任一点，焦点为F1(-abc,0),F2(c,0),则PF1?a?ex0,PF2?a?ex0（e为离心率）；
222.双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线x?y?1（a>0,b>0）上任一点，焦点为
a2b2F1(-c,0),F2(c,0),则:（1）当P点在右支上时，PF1?a?ex0,PF2??a?ex0； （2）当P点在左支上时，PF1??a?ex0,PF2?a?ex0；（e为离心率）；
2222另：双曲线x?y?1（a>0,b>0）的渐近线方程为x?y?0；
a2b2a2b23.抛物线焦半径公式：设P（x0,y0）为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则
PF?x0?pp；y2=2px(p＜0)上任意一点，F为焦点，则PF??x0?； 224.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；
2by2x5.共渐进线y??x的双曲线标准方程为?2??(?为参数，?≠0）； 2aab6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，
一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、
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高考数学考前必看系列材料之一(doc 8页)
