一元二次方程-韦达定理的应用及答案

由天下分享时间：2024/10/23 13:31:24 加入收藏我要投稿点赞

一元二次方程韦达定理的应用

知识点：

一元二次方程根的判别式：

当△>0 时________方程_____________，当△=0 时_________方程有_______________ ，当△<0 时_________方程___________ .

韦达定理的应用：

1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值

3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值 4.已知两数的和与积，求这两个数

22例 1.关于 x 的一元二次方程 x?2mx?3m?8m?4?0.求证：当 m>2 时,原方程永远有两个实数

根.

例 2.已知关于 x 的方程kx2?2(x?1)x?k?1?0有两个不相等的实数根. (1)求 k 的取值范围;

(2)是否存在实数 k，使此方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在，求出 k 的值;若不存在，说明理由.

例 3.已知关于 x 的方程x2?2(k?3)x?k2?4k?1?0

(1)若这个方程有实数根，求 k 的取值范围;(2)若这个方程有一个根为 1，求 k 的值;

2例 4.已知关于 x 的一元二次方程x?(m?2)x?1m?3?0 2(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。 (2)若这个方程的两个实数根x1,x2 满足2x1?x2?m?1，求 m 的值。

例 5.当 m 为何值时，方程8x2?(m?1)x?m?7?0的两根：

(1) 均为正数; (2)均为负数; (3)一个正数，一个负数; (4)一根为零; (5)互为倒数; (6)都大于 2.

例 6.已知 a,b,c,是△ ABC 的三边长，且关于 x 的方程 b(x2?1)?2ax?c(x2?1)?0有两个相等的实根，

求证：这个三角形是直角三角形。

2例 7.若 n>0 ，关于 x 的方程x?(m?2n)x?1mmn?0有两个相等的正的实数根，求的值。 4n

课堂练习：

1.下列一元二次方程中，没有实数根的是（）

A. x2?2x?1?0 B. x?22x?2?0 C. x?2x?1?0D. x2?x?2?0 2.已知x1,x2是方程x2?3x?1?0的两个根，则

2211?的值是（） x1x2A.3 B.-3 CC.

1D .1 33.关于 x 的二次方程(m?1)x2?x?m2?2m?3?0的一个根为 0，则 m 的值为（） A.1 B.-3 C.1 或－3 D.不等于 1 的实数

4.方程 x2?(k2?25)x?(k?2)?0 的两根互为相反数， k 的值为（） A. k =5或 - 5 B. k =5 C. k = -5 D.以上都不对

25.若方程x?mx?4?0的两根之差的平方为 48，则 m 的值为（）

A.±8 B.8 C.-8 D.±4

6.已知关于 x 的方程10x2?(m?3)x?m?7?0，若有一个根为0，则 m=________ ，这时方程的另一个根是 ________；若两根之和为?23，则 m=_______ ，这时方程的两个根为____________ 57.已知方程 x?px?1?0的一个根为?2?5，可求得 p=_______

28.若2?3是关于 x 的方程2x?8x?k?0的一个根，则另一个根为 _____ ， k = _____ 。

29.方程2x?6x?5?0两根为α，β，则?2??2?______,(???)2=______。

10.要使9an2?4n?6与3an是同类项，则 n=______________

11.解下列方程：

222(1)(2x?1)?16(2)x?4x?3?0 (3) 5x?3x?2?0

12.关于 x 的方程ax?(2a?1)x?(a?3)?0有实数根，求 a 的取值范围。

13.设x1,x2是方程2x2?4x?1?0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值： (1)(x1?1)(x2?1)； (2)

x1x2?； (3) x12?x22 . x2x114.关于 x 的方程x2?(2a?1)x?(a?3)?0，试说明无论 a 为任何实数，方程总有两个不等实数根。

15.已知关于 x 的方程x2?2(m?1)x?3m2?11?0 ，（ 1） m 为何值时，方程有两个相等的实数根？（ 2）是否存在实数 m，使方程的两根

x1x2+??1?若存在，求出方程的根；若不存在，请说明理x2x1由。

16.关于 x 一元二次方程 (c?b)x2?2(b?a)x?a?b?0 有两个相等的实数根,其中 a, b, c 是三角形三边的长,试判断这个三角形的形状。

17.已知Rt△ABC 中，两直角边长为方程x?(2m?7)x?4m(m?2)?0的两根，且斜边长为 13，求