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知识应用：如图1中，作△ABC的中位线MN，作EG∥AC交NM的延长线于G，EF与MN交于点Q′
∵△ABC是等边三角形，MN是中位线， ∴AM=BM=AN=CN， ∵AF=BE， ∴EM=FN， ∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B=∠GME=60°， ∵∠A=∠GEM=60°，
∴△GEM是等边三角形， ∴EM=EG=FN，
在△GQ′E和△NQ′F中，
，
∴△GQ′E≌△NQ′F， ∴EQ′=FQ′， ∵EQ=QF， ′点Q、Q′重合，
∴点Q在线段MN上，
∴段EF中点Q的运动轨迹是线段MN， MN=BC=×8=4．
∴线段EF中点Q的运动轨迹的长为4．
拓展提高：如图2中，
（1）∵△APC，△PBD都是等边三角形， ∴AP=PC，PD=PB，∠APC=∠DPB=60°，
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∴∠APD=∠CPB， 在△APD和△CPB中，
，
∴△APD≌△CPB，
∴∠ADP=∠CBP，设BC与PD交于点G， ∵∠QGD=∠PGB， ∴∠DQG=∠BPG=60°，
∴∠AQB=180°﹣∠DQG=120°
（2）由（1）可知点P的运动轨迹是，设弧AB所在圆的圆心为O，Z 圆上任意取一点M，连接AM，BM，
则∠M=60°，
∴∠AOB=2∠M=120°，作OH⊥AB于H，则AH=BH=3，OH=，OB=2， ∴弧AB的长=∴动点Q运动轨迹的长
22．如图1，抛物线y=﹣ [（x﹣2）2+n]与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结BC． （1）求m、n的值；
（2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC面积的最大值；
（3）如图3，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
π．
=
π．
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）利用抛物线的解析式确定对称轴为直线x=2，再利用对称性得到2﹣（m﹣2）=2m+3﹣2，解方程可得m的值，从而得到A（﹣1，0），B（5，0），然后把A点坐标代入y=﹣ [（x﹣2）2+n]可求出n的值；
（2）作ND∥y轴交BC于D，如图2，利用抛物线解析式确定C（0，3），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+3，设N（x，﹣x2+S△NBC=S△NDC+S△NDB可得S△BCN=﹣x2+
x+3），则D（x，﹣x+3），根据三角形面积公式，利用x，然后利用二次函数的性质求解；
（3）先利用勾股定理计算出BC=，再分类讨论：当∠PMB=90°，则∠PMC=90°，△PMC为等腰直角三角形，MP=MC，设PM=t，则CM=t，MB=﹣t，证明△BMP∽△BOC，利用相似比可求出BP的长，再计算OP后可得到P点坐标；当∠MPB=90°，则MP=MC，设PM=t，则CM=t，MB=﹣t，证明△BMP∽△BCO，利用相似比可求出BP的长，再计算OP后可得到P点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线的解析式为y=﹣ [（x﹣2）2+n]=﹣（x﹣2）2﹣n，
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∴抛物线的对称轴为直线x=2， ∵点A和点B为对称点，
∴2﹣（m﹣2）=2m+3﹣2，解得m=1， ∴A（﹣1，0），B（5，0），
把A（﹣1，0）代入y=﹣ [（x﹣2）2+n]得9+n=0，解得n=﹣9； （2）作ND∥y轴交BC于D，如图2， 抛物线解析式为y=﹣ [（x﹣2）2﹣9]=﹣x2+当x=0时，y=3，则C（0，3）， 设直线BC的解析式为y=kx+b， 把B（5，0），C（0，3）代入得∴直线BC的解析式为y=﹣x+3， 设N（x，﹣x2+∴ND=﹣x2+
x+3），则D（x，﹣x+3）， x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x，
x=﹣（x﹣）2+
，
，解得
， x+3，
∴S△NBC=S△NDC+S△NDB=?5?ND=﹣x2+当x=时，△NBC面积最大，最大值为
；
（3）存在． ∵B（5，0），C（0，3），
=∴BC=，
当∠PMB=90°，则∠PMC=90°，△PMC为等腰直角三角形，MP=MC， 设PM=t，则CM=t，MB=﹣t， ∵∠MBP=∠OBC， ∴△BMP∽△BOC， ∴
=
=
，即=
=，
=
，解得t=
，BP=
，
∴OP=OB﹣BP=5﹣
此时P点坐标为（，0）； 当∠MPB=90°，则MP=MC， 设PM=t，则CM=t，MB=﹣t， ∵∠MBP=∠CBO， ∴△BMP∽△BCO， ∴
=
=
，即=
=
，解得t=
，BP=
，
∴OP=OB﹣BP=5﹣此时P点坐标为（综上所述，P点坐标为（
=， ，0）；
，0）或（，0）．
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2020届山东省日照市中考数学试卷（有答案）（word版）（已纠错）
