.
18．对于正实数α，记Mα是满足下列条件的函数f（x）构成的集合：对于任意的实数x1，x2∈R且x1＜x2，都有﹣α（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜α（x2﹣x1）成立．下列结论中正确的是（ ） A．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）?g（x）∈B．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2且g（x）≠0，则C．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）+g（x）∈
∈
D．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2且α1＞α2，则f（x）﹣g（x）∈【考点】元素与集合关系的判断． 【分析】由题意知
，从而求得．
【解答】解：对于﹣α1（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜α1（x2﹣x1）， 即有
，
令
则﹣α＜k＜α， 若
，
，
即有﹣α1＜kf＜α1，﹣α2＜kg＜α2， 所以﹣α1﹣α2＜kf+kg＜α1+α2， 则有故选C．
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为1，体积为2，E为AB的中点，证明：A1E与C1B是异面直线，并求出它们所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）
，
.
.
【考点】二面角的平面角及求法．
【分析】根据直线和平面所成角的定义求出C1C的值，结合二面角的定义进行求解即可．
【解答】
20．已知函数f（x）=sinxcosx+（1）若0≤x≤
x
，求函数f（x）的值域；
，b=2，c=3，求cos
（2）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）=（A﹣B）的值．
【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦函数的图象．
.
.
【分析】（1）使用二倍角公式化简f（x），根据x的范围和正弦函数的性质求出f（x）的最值； （2）由f（A）计算A，利用余弦定理计算a，根据正弦定理求出sinB，得出cosB，利用两角差的余弦公式计算．
【解答】解：（1）f（x）=∵∴当2x+当2x+
==，∴
，
，
=
．
时，f（x）取得最大值1+时，f（x）取得最小值0．
． ，
． ，∴，即
．
，
∴函数f（x）的值域为（2）由∴∵∴
在△ABC中，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=∴
．
，∴，
．
．
，
由正弦定理得由于b＜a，∴
∴cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB=
21．某企业参加A项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润10（a﹣下的工人每年创造利润需要提高0.2x%．
（1）若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作？
（2）在（1）的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a的取值范围． 【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）根据题意，列出不等式10（1+0.2x%）≥10×1000，求解即可；
.
）万元（a＞0），A项目余
.
（2）求出x的范围，得出不等式10（a﹣）x≤10（1+0.2x%），整理可得a≤++1恒成立，
根据x的范围，可知在定义域内函数为减函数，当x=400时，函数取得最小值． 【解答】解：设调出x人参加B项目从事售后服务工作 （1）由题意得：10（1+0.2x%）≥10×1000，
即x2﹣500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业． （2）由题知，0＜x≤400，
从事第三产业的员工创造的年总利润为10（a﹣从事原来产业的员工的年总利润为10（1+则10（a﹣所以ax﹣
）x≤10（1+0.2x%） ≤1000+2x﹣x﹣
x2，
）x万元，
x）万元，
所以ax≤即a≤
+
+1000+x， +1恒成立，
因为 0＜x≤400， ∴
+
+1≥
+
+1=5.1，
所以a≤5.1，
又a＞0，所以0＜a≤5.1， 即a的取值范围为（0，5.1]．
22．已知椭圆Γ：
+
=1的中心为O，一个方向向量为=（1，k）的直线l与Γ只有一个公共点M．
（1）若k=1且点M在第二象限，求点M的坐标；
（2）若经过O的直线l1与l垂直，求证：点M到直线l1的距离d≤
﹣2；
=，求|ON|2+|OP|2
（3）若点N、P在椭圆上，记直线ON的斜率为k1，且为直线OP的一个法向量，且的值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程4x2+5y2=20，可得x的方程，运用直线和椭圆只有一个公共点M，可得△=0，化简整理，解方程可得M的坐标；
（2）设直线l1：x+ky=0，运用（1）求得M到直线l1的距离公式，再由基本不等式可得最大值，即可得证；
.
.
（3）直线ON的方程为y=kx，代入椭圆方程4x2+5y2=20，可得交点N，求得|ON|，同样将直线OP：x+ky=0代入椭圆方程求得P的坐标，可得|OP|，化简整理即可得到所求值． 【解答】解：（1）设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程4x2+5y2=20， 可得（4+5k2）x2+10ktx+5t2﹣20=0， 直线l与Γ只有一个公共点M，可得△=0， 即有100k2t2﹣4（4+5k2）（5t2﹣20）=0， 化简可得t2=4+5k2， 由k=1可得t=±3，
由点M在第二象限，可得M（﹣即为（﹣，）；
（2）证明：设直线l1：x+ky=0， 由（1）可得M（﹣
，），t2=4+5k2，
，），
则点M到直线l1的距离d=
=
=≤==﹣2，
当且仅当5k2=
时，取得等号；
（3）由题意可得直线ON的方程为y=kx， 代入椭圆方程4x2+5y2=20，可得（20+16k2）x2=100， 即有x2=
，y2=
，
即有|ON|2=
，
将直线OP的方程x+ky=0，代入椭圆方程可得， y2=
，x2=
，
即有|OP|2=
，
.
2019-2020学年上海市普陀区高考数学二模试卷(文科)(有答案)
