立体几何中的最值问题
海红楼
立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。
一、运用变量的相对性求最值
例1. 在正四棱锥S-ABCD中，SO⊥平面ABCD于O，SO=2，底面边长为SC上移动，则P、Q两点的最短距离为（ ）
Q分别在线段BD、2，点P、
A.
55 B.
255 C. 2 D. 1
解析：如图1，由于点P、Q分别在线段BD、SC上移动，先让点P在BD上固定，Q在SC上移动，当
OQ最小时，PQ最小。过O作OQ⊥SC，在Rt△SOC中，OQ?255中。又P在BD上运动，且当P运动
到点O时，PQ最小，等于OQ的长为
255，也就是异面直线BD和SC的公垂线段的长。故选B。
图1
二、定性分析法求最值
例2. 已知平面α//平面β，AB和CD是夹在平面α、β之间的两条线段。AB⊥CD，AB=3，直线AB与平面α成30°角，则线段CD的长的最小值为______。
解析：如图2，过点B作平面α的垂线，垂足为O，连结AO，则∠BAO=30°。过B作BE//CD交平面α于E，则BE=CD。连结AE，因为AB⊥CD，故AB⊥BE。则在Rt△ABE中，BE=AB·tan∠BAE≥AB·tan∠BAO=3·tan30°=
3。故CD?3。
图2
三、展成平面求最值
例3. 如图3-1，四面体A-BCD的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c。平面α分别截棱AB、BC、CD、DA于点P、Q、R、S，则四边形PQRS的周长的最小值是（ ）
A. 2a
B. 2b
C. 2c
D. a+b+c
图3-1
解析：如图3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各侧面均为锐角三角形，且AB=CD，AC=BD，AD=BC，所以，A与A’、D与D’在四面体中是同一点，且AD//BC//A'D'，AB//CD'，A、C、A’共线，D、B、D’共线，AA'?DD'?2BD。又四边形PQRS在展开图中变为折线S’PQRS，S’与S在四面体中是同一点。因而当P、Q、R在S’S上时，S'P?PQ?QR?RS最小，也就是四边形PQRS周长最小。又S'A?SA'，所以最小值L?SS'?DD'?2BD?2b。故选B。
图3-2
四、利用向量求最值
例4. 在棱长为1的正方体ABCD-EFGH中，P是AF上的动点，则GP+PB的最小值为_______。 解析：以A为坐标原点，分别以AB、AD、AE所在直线为x，y，z轴，建立如图4所示的空间直角坐标
??0，x)，GP?(x?1，?1，x?1)，系，则B（1，0，0），G（1，1，1）。根据题意设P（x，0，x），则BP?(x?1，那么
图4
22GP?PB???2???2x?4x?3?2x?2x?1
?2???2?2?(x?1)??0?????2????1?1????x????0??
2?2???22式子
?2?2?(x?1)??0??2???2?1?1????x????0??可以看成x轴正半轴上一点（x，0，0）到
2?2???22xAy平面上两点?1，?????11?2。所以GP+PB的最小值为，0?、?，，0?的距离之和，其最小值为1??22??22?22?1?22?2?2。
立体几何中的最值问题
一、线段长度最短或截面周长最小问题
例1. 正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点，N为BC的中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是多少?并求之.
解析： (1)从侧面到N，如图1，沿棱柱的侧棱AA1剪开，并展开，则MN＝＝10
AM2?AN2＝1?(2?1)22
立体几何中的最值与动态问题
