精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号＿ 学员编号: 年 级: 高三 课时数:3 学员姓名: 辅导科目:数学 学科教师: 课 题 授课日期及时段 空间直线与平面,平面与平面得位置关系 1、 掌握空间平面与直线得位置关系,并会求直线与平面所称得角; 2、 掌握空间平面与平面得位置关系,会画二面角得平面角 教学内容 教学目得 【知识梳理】 1、 直线与平面有哪些位置关系？ 2、 直线与平面所称得角得取值范围就是 3、 直线与平面平行 判定定理: ; 性质定理: ; 4、 直线与平面垂直 （1） 定义: （2） 判定定理: （3） 性质定理: 5、 二面角得概念: 6、 二面角得取值范围: 【典型例题分析】 例１、如图,在正方体中,求面对角线与对角面所成得角 解析:法一:连结与交于,连结, D1C1O∵,,∴平面, A1∴就是与对角面所成得角, B1在中,,∴、 法二:由法一得就是与对角面所成得角, DC又∵,, A∴,∴. B说明:求直线与平面所成角得一般方法就是先找斜线在平面中得射影,后求斜线与其射影得夹角另外,在条件允许得A情况下,用公式求线面角显得更加方便 变式练习: 已知空间四边形得各边及对角线相等,求与平面所成角得余弦值 解析:过作平面于点,连接, ∵,∴就是正三角形得外心, BC设四面体得边长为,则, O∵,∴即为与平面所成角, D∴,所以,与平面所成角得余弦值为. 例2、如图,已知ＡP⊥BＰ,PＡ⊥PC,∠ＡＢP＝∠ＡCP=60o,PB=PC＝BＣ,D就是ＢC中点,求AＤ与平面PBC所成角得余弦值. 解析:∵AP⊥BP,PA⊥PC,∴AＰ⊥PBC 连PD,则PD就就是AD在平面PＢC上得射影 ∴∠ＰＤＡ就就是ＡD与平面PBＣ所成角 又∵∠ABP=∠AＣP=60o,PＢ=ＰC＝ＢC,D就是ＢＣ中点, ∴ＰＤ=, PＡ=BC ∴AＤ= ∴ ∴AD与平面PＢC所成角得余弦值为 巩固练习: 1选择题 (１)一条直线与平面所成角为θ,那么θ得取值范围就是( ) ?(A)(0o,9０o) (B)［0o,９0o] (Ｃ)[0o,1８0o］ (D)[０o,１８0o) (2)两条平行直线在平面内得射影可能就是①两条平行线;②两条相交直线;③一条直线;④两个点. 上述四个结论中,可能成立得个数就是 ( ) ?(A)1个?(B)２个 (C)3个 (D)４个 (3)从平面外一点Ｐ引与平面相交得直线,使Ｐ点与交点得距离等于1,则满足条件得直线条数不可能就是( ) ?(A)０条或1条 (Ｂ)０条或无数条? (C)1条或2条 (D)0条或1条或无数条 答案:(1)B (2)Ｃ (3)D 2.填空题 (1)设斜线与平面?所成角为θ,斜线长为,则它在平面内得射影长就是 . (2)一条与平面相交得线段,其长度为10ｃm,两端点到平面得距离分别就是2cm,3cm,这条线段与平面?所成得角就是 。 (3)若(2)中得线段与平面不相交,两端点到平面得距离分别就是２cm,3ｃm,则线段所在直线与平面?所成得角就是 . ?答案:(１) (２) (３) 3.若Ｐ为⊿AＢC所在平面外一点,且PＡ＝ＰＢ=ＰC,求证点Ｐ在⊿ABC所在平面内得射影就是⊿ＡBC得外心. 分析:斜线段长相等,则射影长也相等从而由PA=PＢ=ＰC,点P得射影到⊿ABC得三个顶点得距离相等,所以射影为⊿ABC得外心、 例3、如图,平面,,若,求二面角得正弦值。 ∴,又平面, ∴,,∴平面,∴,, 又∵,,∴平面,∴,设,则, 在中,,∴, 同理,中,, ∴, 所以,二面角得正弦值为。 解析:过作于,过作交于,连结, 则垂直于平面,为二面角得平面角, 例4、设在平面内得射影就是直角三角形得斜边得中点,,求(１)与平面所成角得大小;(2)二面角得大小;(3)异面直线与得大小 解析:(1)∵面 ∴ ∴为与面所成角 ∵ ∴ ∴ ∴∴ 即与平面所成角得大小为 AFOECDB(２)取中点,连接 ∴ ∵ ∴ 又∵面 ∴ ∴为二面角得平面角 又∵ ∵ ∴ ∴ 即二面角得大小为 (3)取得中点,连接,则 ∴与所成得锐角或直角即为异面直线与所成角 易求得 即异面直线与所成角为 例5、设P就是△ＡBC所在平面Ｍ外一点,当Ｐ分别满足下列条件时,判断点P在M内得射影得位置。 (１)P到三角形各边得距离相等。 (２)P到三角形各顶点得距离相等。 (３)PA、PＢ、ＰC两两垂直. 解析:设P在平面M内得射影就是O、 (1)O就是△AＢC得内心; (2)O就是△AＢC得外心; (３)Ｏ就是△AＢC得垂心。 例６、在正方体AＢCD-A1Ｂ１C１D1中,求证: (1)A1C⊥平面C1DB于G; (2)垂足Ｇ为正△C1DB得中心; (3)Ａ1G＝2GC. 解析:(1)连AC,对平面AＢCD来说,A1A就是垂线,A１C就是斜线,ＡC就是A1C在平面ABCＤ上得射影,因为AＣ⊥DB(正方形得性质),所以 A1Ｃ⊥DＢ。 同理可证A1Ｃ⊥ＢC1、 因为Ａ１C⊥平面C1DＢ(直线与平面垂直得判定理) (2)因为A1B=A１Ｃ1=A1D,所以BG＝GC1＝DG,故G就是正△Ｃ１DB得外心,正三角形四心合一,所以G就是正△C1DB得中心。 (3)在正方体得对角面Ａ1ACC１内,由平面几何可知△A１GＣ１∽△OGC,且A１Ｃ１∶OＣ＝Ａ１G∶ＧＣ,所以A1G∶GC＝2∶1,因此Ａ１G=2ＧC. 变式练习: 已知:Rt△AＢC在平面α内,PＣ⊥平面α于C,D为斜边ＡB得中点,CA=6,CB=８,PC＝1２、求: (1)Ｐ,D两点间得距离; (２)P点到斜边AB得距离. 解析:(１) (2)作ＰE⊥AB于Ｅ,连CE则CE⊥ＡB.(三垂线定理得逆定理)PE就就是P点到AB边得距离. 可用等积式CE·ＡB=AC·CB,即斜边上得高与斜边得乘积等于两直角边得乘积. 因ＣＥ·AＢ就是Ｒt△ABC面积得二倍,而AC·CB也就是Ｒt△ABC面积得二倍,所以它们相等;也可用△BCE∽△AＢＣ,对应边成比例推出这个等积式. 注:在求直角三角形斜边上得高时会利用上述得等积式来求斜边上得高。 【课堂小练】 １、过正方形ABCD得顶点A作线段A A′⊥平面ABCD,若A A′=AB,则平面A′Ａ B与平面A′CD所成得角度就是 A。 30° Ｂ. 4５° C、 60° D、 90° 2、在直二面角α- ｌ-β中,直线ｍα,直线nβ,且m、n均不与l垂直,则 A、 m与ｎ不可能垂直,但可能平行 Ｂ。 m与n可能垂直,但不可能平行 Ｃ。 m与n可能垂直,也可能平行 D. m与n不可能垂直,也不可能平行 3、设有不同得直线a、b与不同得平面α、β、γ,给出下列三个命题: (1)若,,则.(２)若, ,则。 (3)若, ,则 。 其中正确得个数就是 A。0 B。１ C、2 D、3 4、一直线与直二面角得两个面所成得角分别为α、β,则α+β得范围为: A。０＜α＋β<π/2 B。α+β>π/2 Ｃ。0≤α+β≤π/２ D、0〈α+β≤π/2 5、若三棱锥得顶点在底面上得射影就是底面三角形得垂心,则 A。各格侧棱长相等 B.各侧棱与底面成等角 C、各侧面与底面线等角 D、每组相对棱互相垂直 6、二面角α— l—β得大小为θ,直线aα,直线bβ,设a与ｂ所成得角为φ,则下面关系中正确得一个就是 A. φ＜θ B、 φ〉θ C、 φ＝θ Ｄ、以上三种关系均有可能 7、如图,等腰直角△ABC,沿其斜边AB边上得高ＣＤ对折,使△ACD与△ＢCD所在得平面垂直,此时∠AＣB等于 A.45° Ｂ、60° C、90° D、１20° 8、正方形纸片ABCD,沿对角线AＣ对折,使Ｄ点在面ＡBC外,这时DＢ与面ABC所成得角一定不等于 A。30° Ｂ.45° C。6０° Ｄ、９0 9、a、b表示直线,α、β、γ表示平面,有下列四个命题:(1)若α∩β=a,bα,a⊥b,则α⊥β;(2)若α⊥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a⊥b;(３)若ａ不垂直于平面α,则a不可能垂直于α内得无数条直线;(4)若a⊥α,ｂ⊥β,a∥ｂ,则α∥β,其中不正确命题得个数为 A.1 Ｂ．2 C。3 D、４ 1０、α、β就是两个不同得平面,m、n就是平面α及β外得两条不同直线,给出四个论断:①ｍ⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α,以其中三个结论作为条件,另一个论断作为结论,则所得命题正确得个数就是
空间直线与平面,平面与平面的位置关系
