2011-2012学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案 Page 1 of 8
北 京 交 通 大 学
2011~2012学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）
参 考 答 案
一．（本题满分8分）
在某个社区，60%的家庭拥有汽车，30%的家庭拥有房产，而20%的家庭既有汽车又有房产．现随机地选取一个家庭，求此家庭或者有汽车或者有房产但不是都有的概率． 解：
设A?“任取一个家庭拥有汽车”，B?“任取一个家庭拥有房产”．由题设得 P?A??0.6，P?B??0.3，P?AB??0.2．
因此有 P?AB??P?A?AB??P?A??P?AB??0.6?0.2?0.4； P?AB??P?B?AB??P?B??P?AB??0.3?0.2?0.1． 所求概率为
PAB?AB?PAB?PAB?0.4?0.1?0.5． 二．（本题满分8分）
假设一个人在一年中患感冒的次数X服从参数为??4的Poisson分布．现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数?降为??1（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数?降为??3（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的．现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？ 解：
?????? 设A1??此药疗效显著?，A2??此药疗效一般?，A3??此药无效?，
?． 患次感冒 B??某人一年中2 由题设，可知如果事件A1发生，则X服从参数为??1的Poisson分布；如果事件A2发生，
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则X服从参数为??3的Poisson分布；如果事件A3发生，则X服从参数为??4的Poisson分布．因此，由Bayes公式，我们有 P?A1B??P?A1?P?BA1??P?A?P?Bkk?13Ak?
12?10.22?e2?0.220 6． ?21?132?342?40.22?e?0.37?e?0.41?e222三．（本题满分8分）
某人住家附近有一个公交车站，他每天上班时在该站等车的时间X（单位：分钟）服从??
1
的指数4
分布，如果他候车时间超过5分钟，他就改为步行上班．求他一周5天上班时间中至少有2天需要步行的概率． 解：
x?1?4? X的密度函数为pX?x???4e??0x?0 ． x?0设A?“候车时间超过5分钟”，则
?1?4 p?P?X?5???edx?e4．
45??x5 设Y：一周5天中他需要步行上班的天数．则Y~B?5,0011 P?Y?2??1?P?Y?1??1?C5p?1?p??C5p?1?p?
54555???????4?4?4? ?1???1?e??5?e??1?e??0.4438． ????54p?，因此所求概率为
四．（本题满分8分）
设随机变量X的密度函数为
?cx2?x0?x?0.5f?x???．
其它?0⑴ 求常数c；⑵ 求X的分布函数F?x?．
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解：
?? ⑴ 由密度函数的性质
??0???f?x?dx?1，得
0.5??0.5 1????f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx?????00.501?c1?ccx2?xdx??x3?x2???，
32248??0?0.5解方程，得c?21． ⑵ 当x?0时，F?x?????f?t?dt?0；
??x 当0?x?0.5时，F?x?? 当x?0.5时，F?x??x?f?t?dt??f?t?dt??f?t?dt?????0000.5xx0xxx221t?tdt?7x?；
22?3???f?t?dt??f?t?dt??f?t?dt??f?t?dt?1．
??00.5 综上所述，随机变量X的分布函数为
?0?3x2F?x???7x?2??1五．（本题满分8分） 设n个随机变量X1,x?00?x?0.5 ． x?0.5X2,?,Xn相互独立，都服从区间?0,1?上的均匀分布，令
X2,?,Xn?，
Y?max?X1,⑴ 求随机变量Y的密度函数pY?x?；⑵ 求数学期望E?Y?． 解：
?10?x?1 ⑴ 随机变量X的密度函数为pX?x??? ，分布函数为
?0其它?0x?0? FX?x???x0?x?1 ．
?1x?1? 随机变量Y的密度函数为 pY?x??n?FX?x??n?1?nxn?10?x?1pX?x??? ．
其它?0第 3 页 共 8 页
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??1 ⑵ E?Y????n?1??xpxdx?x?nxdx?Y??0n． n?1六．（本题满分8分）
设二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为
p?x,?212?xy0?x2?y?1y???4
?其它?0⑴ 求随机变量Y的边际密度函数；（5分）⑵ 求条件密度函数pXYxy．（3分） 解：
?? 当y?0，或者y?1时，pY?y??0； 当0?y?1时， pY?y???????p?x,yy?dx?y?y?21221xydx?y?x2dx 44?yyy212113752y?xdx?y?x?y2 ?202302 所以，随机变量Y的边际密度函数为
?75?2 pY?y???2y??00?y?1 ． 其它75 当0?y?1时，pY?y??y2?0，因此当0?y?1时，X关于Y的条件密度函数为
2 pXY?xy??p?x,y? pY?y?212xy33?24?xy2 ?5272y2即当0?y?1时，条件密度函数为
?32?3?xy2pXY?xy???2??00?x2?y?1 ． 其它第 4 页 共 8 页
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七．（本题满分8分）
设随机变量X与Y相互独立，而且都服从正态分布N?,??2?．再令U?aX?bY，V?aX?bY，
其中a与b是不全为零的常数，求随机变量U与V的协方差cov?U,V?与相关系数?U,V． 解：
由于随机变量X与Y都服从正态分布N??,?2?，所以
E?X??E?Y???，D?X??D?Y???2．
E?U??E?aX?bY??aE?X??bE?Y??a???b????a?b??； E?V??E?aX?bY??aE?X??bE?Y??a???b????a?b??． 再由于随机变量X与Y相互独立，故有
D?U??D?aX?bY??a2D?X??b2D?Y??a2??2?b2??2??a2?b2??2， D?V??D?aX?bY??a2D?X??b2D?Y??a2??2?b2??2??a2?b2??2， cov?U,V??cov?aX?bY,aX?bY?
vX, ?a2co?X??b2co?vY,Y??a2D?X??b2D?Y??a2?b2?2，
?? 所以，?U,Vcov?U,V?a2?b2． ??22D?U?D?V?a?b八．（本题满分8分）
某药厂断言，该厂生产的某种药品对治愈一种疑难的血液病的治愈率为0.8．医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言；否则就拒绝这一断言．试用中心极限定理计算，⑴ 如果实际上对这种疾病的治愈率确为0.8，问拒绝这一断言的概率是多少？⑵ 如果实际上对这种疾病的治愈率为0.7，问接受这一断言的概率是多少？ （附，标准正态分布N?0,1?的分布函数??x?的某些数值：
x 1.09 0.8621 1.14 0.8729 1.19 0.8830 1.23 0.8907 1.25 0.8944 1.30 0.9032 ??x? 解：
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