2020年北约自主招生数学试题与答案
2020-03-16
（时间90分钟，满分120分）
g1?32??(7a?b?c?d?e)?(2a?3b?2c?d)32?(6a?3b?c)34?0
???7a?b?c?d?e?0 ??2a?3b?2c?d?0??4a?2c?e?0?2b?d?0??即方程组：?7a?b?c?d?e?0?2a?3b?2c?d?0???6a?3b?c?0(1)(2)(3)，有非0有理数解. (4)(5)由（1）+（3）得：11a?b?c?d?0 （6） 由（6）+（2）得：11a?3b?c?0 （7） 由（6）+（4）得：13a?4b?3c?0 （8） 由（7）?（5）得：a?0，代入（7）、（8）得：b?c?0，代入（1）、（2）知：d?e?0.于是知a?b?c?d?e?0，与a,b,c,d,e不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式g(x)，其两根分别为2和1?32. 综上所述知，以2和1?32为两根的有理系数多项式的次数最小为5.
1． 在6?6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只
有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400
3解析：先从6行中选取3行停放红色车，有C6种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；
最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位
置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。所以共有C6?6?5?4?6?14400种停放汽车的方法. 2． 已知x?2y?5,y?2x?5，求x?2xy?y的值. A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解析：根据条件知：
2232233x3?2x2y2?y3?x(2y?5)?2(2y?5)(2x?5)?y(2x?5)?15x?15y?4xy?50
由x?2y?5,y?2x?5两式相减得(x?y)(x?y)?2y?2x故y?x或x?y??2
2①若x?y则x?2x?5，解得x?1?6.于是知x?y?1?6或x?y?1?6. 22当x?y?1?6时，
x3?2x2y2?y3??4xy?15(x?y)?50??4x2?30x?50??4(x2?2x?5)?38x?70 ??38x?70??108?386.
当x?y?1?6时
x3?2x2y2?y3??4xy?15(x?y)?50??4x2?30?50??4(x2?2x?5)?38x?70 x2?y2?(2y?5)?(2x?5)?2(y?x)?x?y??2??38x?70??108?386.
（2）若x?y，则根据条件知：x?y?(2y?5)?(2x?5)?2(y?x)?x?y??2，于是x?y?(2y?5)?(2x?5)?2(x?y)?10?6，
2222(x?y)2?(x2?y2)??1. 进而知xy?2于是知：x?2xy?y?4xy?15(x?y)?50??16.
3223综上所述知，x?2xy?y的值为?108?386或?16.
3223
3． 数列?an?满足a1?1，前n项和为Sn,Sn?1?4an?2，求a2013. A. 3019?2
2020
B. 3019?2
2020
C. 3018?2
2020
D.无法确定
解析：根据条件知：4an?1?2?Sn?2?an?2?Sn?1?an?2?4an?2?an?2?4an?1?4an.又根据条件知：a1?1,S2?a1?a2?4a1?2?a2?5.
所以数列?an?:a1?1,a2?5,an?2?4an?1?4an.
又an?2?4an?1?4an?an?2?2an?1?2(an?1?2an).令bn?an?1?2an，
n?1n?1则bn?1?2bn,b1?a2?2a1?3，所以bn?3?2.即an?1?2an?3?2.
anan?1an3an?1an3，即.令，c?????n2n2n?12n42n?12n4a13133n?1则cn?1?cn?，c1?1?，于是知cn??(n?1)?.所以
4222443n?1nan?,2?(3n?1)?2n?2.于是知：a2013?(3?2013?1)?22011?3019?22012.
4n?1n?1对an?1?2an?3?2，两边同除以2，有
5．如图，?ABC中，AD为BC边上中线，DM,DN分别?ADB,?ADC的角平分线，试比较BM?CN与MN的大小关系，并说明理由. A. BM+CN>MN B. MN?CN?MN C. BM+CN?MN D.无法确定
解析：如图，延长ND到E，使得DE?DN，连接BE、ME.易知?BDE??CDN，所以CN?BE.又因为DM,DN分别为?ADB,?ADC的角平分线，所以?MDN?90?，知
6.模长为1的复数A、B、C，满足A?B?C?0，求
MD为线段EN的垂直平分线，所以MN?ME.所以BM?CN?BM?BE?ME?MN.
AB?BC?CA的模长.
A?B?C A. ?1/2 B. 1 C. 2 D.无法确定 解析：根据公式z?z?z知，A?A?1,B?B?1,C?C?1.于是知：
AB?BC?CA?A?B?C?AB?BC?CAAB?BC?CA ?A?B?CA?B?C(ABCC?ABCC?BCAA?BCAA?CABB?CABB)?(AABB?BBCC?CCAA)
(AB?AB?BC?BC?CA?CA)?(AA?BB?CC)?所以
AB?AB?BC?BC?CA?CA?3?1.
AB?AB?BC?BC?CA?CA?3AB?BC?CA的模长为1.
A?B?C
7．最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数. 解析：所有正整数按取模3可分为三类：3k型、3k?1型、3k?2型.
首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取3k型数为3a，3k?1型数为3b?1，3k?2型数为3c?2，
则3a?(3b?1)?(3c?2)?3(a?b?c?1)，不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两类.
其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个.否则，若某一类3k?r(r?0、1、2)型的数至少取到三个，设其中三个分别为3a?r、3b?r、3c?r，
则(3a?r)?(3b?r)?(3c?r)?3(a?b?c?r)，不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.
结合上述两条，我们知道最多只能取2?2?4个数，才有可能满足题设条件. 另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件. 综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数.
L、a2013?R，满足a1?a2?a3?L?a2013?0，且8．已知a1、a2、a3、a1?2a2?a2?2a3?a3?2a4?L?a2012?2a2013?a2013?2a1a1?a2?a3?L?a2013?0.
解析：根据条件知:
，求证：
(a1?2a2)?(a2?2a3)?(a3?2a4)?L?(a2013?2a1)??(a1?a2?a3?L?a2013)?0（1）
另一方面，令
，
a1?2a2?a2?2a3?a3?2a4?L?a2013?2a1?m，则
a1?2a2、a2?2a3、a3?2a4、L、a2013?2a1中每个数或为m，或为?m.设其中有k个m，(2013?k)个?m，则：
(a1?2a2)?(a2?2a3)?(a3?2a4)?L?(a2013?2a1)?k?m?(2013?k)?(?m)?(2k?2013)m（2）
由（1）、（2）知：
(2k?2013)m?0 （3）
而2k?2013为奇数，不可能为0，所以m?0.于是知：
a1?2a2,a2?2a3,a3?2a4,L,a2012?2a2013,a2013?2a1.
2013?a1，即得a1?0.同理可知：a2?a3?L?a2013?0.命题得证. 从而知：a1?2
9．对任意的?，求32cos??cos6??6cos4??15cos2?的值. 解析：根据二倍角和三倍角公式知：
632cos6??cos6??6cos4??15cos2?
?32cos6??(2cos23??1)?6(2cos22??1)?15(2cos2??1)
32222????32cos6???2(4cos??3cos?)?1?62(2cos??1)?1?15(2cos??1) ?????32cos6??(32cos6??48cos4??18cos2??1)?(48cos4??48cos2??6)?(30cos2??15)?10.
10．已知有mn个实数，排列成m?n阶数阵，记作aij??mxn，使得数阵中的每一行从左到
右都是递增的，即对任意的i?1、2、3、L、m，当j1?j2时，都有aij1?aij2.现将aij??mxn的
每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m?n阶数阵，记作
?a??ijmxn?，即对任意的j?1、2、3、L、n，当i1?i2时，都有ai?1j?ai?2j.试判断aij??mxn中每
一行的n个数的大小关系，并说明理由.
?解析：数阵aij??mxn中每一行的n个数从左到右都是递增的，理由如下：
?显然，我们要证数阵aij??mxn中每一行的n个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于
??ai?(j?1)，其中j?1、任意i?12、3、L、n?1. 、2、3、L、m，都有aij??若存在一组a?、2、3、L、m，pq?ap(q?1).令ak(q?1)?aik(q?1)，其中k?1?i1,i2,i3,L,im???1,2,3,L,m?.则当t?p时，都有aiq?ai(q?1)?at?(q?1)?a?p(q?1)?a?pq.
tt??2、3、L、m)中，至少有p个数小于a?也即在aiq(i?1、pq，也即apq在数阵aij中，至少排在第p?1行，与a?pq排在第p行矛盾.
??mxn的第q列
北约2020年自主招生数学试题
