2009-2010学年高等数学A2期末试题答案
一、单项选择题（每小题
B C
D
A
二、填空题（每小题1、
3分，共15分）B
3分，共15分）
x4
3y43x
3
z50xy
2
2
2、3 3、
0
d
20
2cos
d
0
f(r)rsindr
22
4、u(x,y)y
2
C
5、9
三、计算下列各题（每小题1已知两条直线方程为
8分，共64分）
L1:
x11
y0
2z31
,L2:
x2
2y11
z1
,
求过L1且平行于L2的平面方程。解：设此平面为
，因为该平面过点
(1,2,3)，且法向量为n，由已知条件有：n
s1且n
s2
……2分
i
可取
jk11
1,
3,1,
……6分
n
s1s2
1021
于是所求的平面方程为
(x1)3(y
xy
2)(z3)0,即x3y
2
z20.
……8分
2. 已知zf(ysinx,e
'1
)，其中f具有二阶连续偏导数，求
'2
z
xy
。
解：
zx
2
ycosxfz
e
xy
f……3分
xy
3.抛物面
cosxf
2
'1
e
2
xy
f
'2
ycosxf
22
'11
2ycosxe
xy
f
'12
e
2(xy)
f
'22
……8分
zxy被平面x2y3z10截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离
的最大最小值。
解：设距离为d，则d
2
xy
2
y
2
z，作拉格朗日函数(z
x
2
2
L(x,y,z,,)(x
22
z)
2
y)
2
(x2y3z10)…………4分
Lx
2x
2
2x
2
0
Ly
2y2y20
Lz
2z230
以及z解得：x
xy,x1,y
2y3z102,z
5
或者
0x
23,y
43,z
209.
…………7分
由实际问题，所以最大距离为
30，最小距离为
2
21459
…………8分
4. 有一曲面
:zx
2
y
在介于0z1之间的侧面分布有质量，设面密度为
x
解：M
2
y，求此侧面分布的总质量
x
2
2
y
2
ds
--------------2分
x
x
2
2
y
2
2dxdy
---------5分
y
2
1
223
5. 计算
---------------------------------8分
xdy
L
ydxy
2
x
2
,其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的
方向为逆时针方向。解
令P
yx
2
y
2
,Q
xx
2
y
2
.则当
x
2
y
2
0时，有
Qx
记
yx
2
2
xy
22
Py
2
.
---------2分
L所围成的闭区域为D。
xdy
L
当(0,0)D时，由格林公式便得
ydxy
2
x
2
0.
---------4分
当(0,0)D时，选取适当小的r0,作位于D内的圆周
l:x
2
y
2
r.记L和l所围成
2
的闭区域为D1。对复连通区域D1应用格林公式，得
xdy
L
ydxy
2
l
xdyx
2
ydxy
2
x
2
0.
其中l的方向取逆时针方向。于是
xdy
L
ydxy
2
l
xdyx
2
ydxy
2
30
rcos
22
rsinr
2
22
x
2
d2.
---------8分
6.求流体的流速为其中算）解：
有柱体x
2
vy
2
xi
3
yj
3
xyzk，求它单位时间内通过闭曲面
的由内向外的流量，
1及xoy坐标面和z2围成。（提示：应用高斯公式和柱面坐标计
vdsxdydz
3
ydzdx
3
xyzdxdy
---------2分---------5分
由高斯公式，得由积分区域对称性
2
(3x
2
3y
2
xy)dxdydz，
xydxdydz0.d
xx
2
10
由柱面坐标
0
d
20
3
2
dz3.
---------8分
7.将函数解：因为
f(x)
5x6x
展开成
(x1)的幂级数。
f(x)
xx
2
3x3
n
2x
2
5x3
6(x2)(x3)32n
0
---------2分
而
3x
3
2
1
1x121
2
(x1)2
n
1x3
2x2
2
1(x1)
xx
2
(x1)
n0
n
0x2
---------6分
所以f(x)
5x6
=
n0
(
32
n1
2)(x1)
n
0x2.
---------8分
8.设f(x)在[0,]上定义，其表达式为f(x)x，将f(x)展开成正弦级数。
x
(2k
1)
(k
0,
1,
2,处
解：首先，所给的函数满足收敛定理的条件，它在点
不连续，因此
f(x)的傅里叶级数在点
f(
)2
xf(
(2k1)处收敛于)
(2
)
0,
---------3分
在连续点处收敛于
f(x)。
an
0n2
0
其次，由公式和奇函数的性质有
0,1,2,
，而
bn
2
0
f(x)sinnxdxxsinnxdx
2n
2xcosnxn
n1
sinnxn
2
0
2n
将求得的bn代入正弦级数，得到
cosn(1)(n1,2,3,
f(x)的傅里叶级数展开式为
(1)n
(
x
n1
f(x)2(sinx
12
sin2x
13
sin3xsinnx)2
n1
(1)n).
n1
sinnx
;x,3,
---------8分
四、(6分)在过点使沿该曲线从O到解：记L1:(,0)而L
O(0,0)和A(,0)的曲线族yasinx(a0)中，求一条曲线L，
A得积分
L
(1y)dx(2x
(1y)dx
L1
3
3
y)dy的值最小。
(2x
y)dy
(0,0)的线段，这
L1为顺时针方向的闭曲线，记它们围成的区域为
(1y)dx
LL1
3
D。由格林公式
(2
D
(2xy)dy3y)dxdy
2
而
(23y)dxdy
D
2
0
dx
asinx0
(23y)dy
2
43
a
3
4a
---------3分
所以
L
(1y)dx
3
(2xy)dy
43
a
3
4aI(a)
dI(a)dadI(a)da
22
4a
2
40得
a1或a
3
1（舍）
y)dy取得最小值。
--------6分
8a
所以a1时(1y)dx(2x
L
2009-2010高等数学A2试题答案(A)
