?26?6326?63?y??,?7171??。
说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。
4、单调性法 例14. 求函数y??2?3，x∈［4，5］的值域。 x?2513?3x为增函数，故当x＝4时，ymin＝2；当x＝5时，ymax＝5，所以函数的值域为
y?解：由于函数
?513?,???25?。
5、换元法
例15. 求函数y?2x?41?x的值域。
解：令t?1?x?0，则y＝－2t2＋4t＋2＝－（t－1）2＋4，t≥0，故所求值域为{y|y≤4}。
6、分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集。
?x,x?[1,2]?2例16. 求函数y??x,x?(2,3]的值域。
?2x?1,x?(3,4]?解：当x∈［1，2］时，y∈［1，2］；当x∈(2，3］时，y∈(4，9］；当x∈(3，4］时，y∈(5，7］。综上所述，y∈［1，2］∪(3，9］。 7、图像法：
2??x,x≥2,例17设f(x)＝?若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则函数y＝g(x)的值域是 ( )
??x,x<1,A.(－∞，－1]∪[1，＋∞) B.(－∞，－1]∪[0，＋∞) C.[0，＋∞) D.[1，＋∞)
解析：如图为f(x)的图象，由图象知f(x)的值域为(－1，＋∞)，
若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，只需g(x)∈(－∞，－1]∪[0，＋∞). 故选B.
8、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
1?2x例18求函数y?的值域。
1?2x1?y1?2xx2?解：由y?解得，
1?y1?2x∵2?0，∴
x1?y?0，∴?1?y?1 1?y1?2x∴函数y?的值域为y?(?1,1)。
1?2x9、有界性求法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。
x2?1例19：求函数y?2的值域。
x?1
解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得(y?1)x??(y?1)，
22∵y?1，∴x??y?1（x?R，y?1）， y?1∴?y?1?0，∴?1?y?1， y?1x2?1∴函数y?2的值域为{y|?1?y?1}
x?1
高中数学必修一专题求函数的定义域与值域的常用方法
