高考中空间几 何体的三视图、表面积及体积
常见题型研究
(1)“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面位置关系(特别是平行与垂直)．
(2)考查一个小题时，本小题一般会出现在第4～8题的位置上，难度一般；考查两个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第12或16题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．
考点一 空间几何体的三视图、直观图与截面图
[例1] (1)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫
头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
(2)(2019·江西八所重点中学联考)某四面体的三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值是( )
A．
5
2
B．2 3D．
2
35C．
5
(3)(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )
33A．
432C．
4
B．
23
33 2
D．
[解析] (1)由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.故选A.
(2)在棱长为2的正方体中还原该四面体P-ABC如图所示，其中最短的棱为AB和BC，最长的棱为PC.因为正方体的棱长为2，所以AB＝BC＝2，PC＝3，所以该四面体最长的3
棱长与最短的棱长的比值为.故选D.
2
(3)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，
A1D1平行，故正方体ABCD-A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等．如图所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S
EFGHMN＝6×
正六边形
12233×××sin 60°＝.故选A. 2224
[答案] (1)A (2)D (3)A [解题方略]
1．识别三视图的步骤
(1)应把几何体的结构弄清楚或根据几何体的具体形状，明确几何体的摆放位置； (2)根据三视图的有关规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图； (3)被遮住的轮廓线应为虚线． 2．由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面；
(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置；
(3)确定几何体的直观图形状．
3．由几何体的部分视图判断剩余的视图的思路
先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分视图的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
4．常见三类空间几何体的截面图 轴截面、横截面与斜截面：
利用截面图可将空间问题转化为平面问题解决．
[多练强化]
1.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M
到N的路径中，最短路径的长度为( )
A．217 C．3
B．25 D．2
解析：选B 先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图①所示．
圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示，连接MN，则图1
中MN即为M到N的最短路径．ON＝×16＝4，OM＝2，
4
∴MN＝
OM2＋ON2＝
22＋42＝25.故选B.
2．已知球O是正三棱锥A-BCD的外接球，BC＝3，AB＝23，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是________．
解析：如图，设△BCD的中心为点O1，球O的半径为R，则A，O，O1三点共线．连接O1D，O1E，OD，OE，则O1D＝3，AO1＝AD2－O1D2＝3.在Rt△OO1D中，R2＝3＋(3－R)2，即R＝2，所以OO12
＝1.在△O1DE中，DE＝BD＝2，∠O1DE＝30°，所以由余弦定理得
3O1E＝
3＋4－2×3×2× cos 30°＝1.所以OE＝2.过点E作圆O的截面，当截面与OE
22－（2）2＝2，所以截面圆的面积
垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为为2π.
答案：2π
考点二 几何体的表面积与体积 题型一 求空间几何体的表面积
[例2] (1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形ABCD为矩形，棱EF∥AB.若此几何体中，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积为( )
A．83 C．62＋23
B．8＋83 D．8＋62＋23
高考立体几何几何体常考题型
