31．已知抛物线C：y=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x
22
轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
uuuruuur（2）若AP?3PB，求|AB|．
2．已知点A(?2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为?.
21记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为
E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：△PQG是直角三角形； （ii）求△PQG面积的最大值.
1x23．已知曲线C：y=，D为直线y=?上的动点，过D作C的两条切线，切点分别
22为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
5（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四
2边形ADBE的面积.
4．已知抛物线C：x2=?2py经过点（2，?1）．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=?1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
x2y25．设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，
ab离心率为
5．（1）求椭圆的方程； 5（2）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，
点N在y轴的负半轴上．若|ON|?|OF|（O为原点），且OP?MN，求直线PB的斜率．
8．已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB
为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P?4,?2?，求直线l与圆M的方程.
11．设抛物线C：y2?4x的焦点为F，过F且斜率为k(k?0)的直线l与C交于A，B两
点，|AB|?8． （1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
12．已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C
有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N． （1）求直线l的斜率的取值范围；
uuuuruuuruuuruuur11（2）设O为原点，QM??QO，QN??QO，求证：?为定值．
??x213．设椭圆C:?y2?1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐
2标为(2,0)．
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：?OMA??OMB．
x2y214．已知斜率为k的直线l与椭圆C：??1交于A，B两点，线段AB的中点为
43M?1，m??m?0?．
（1）证明：k??；
uuuruuuruuuruuuruuuruuur（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP?FA?FB?0．证明：FA，FP，FB
12成等差数列，并求该数列的公差．
x2y2318．已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)，四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），
ab2P4（1，
3）中恰有三点在椭圆C上． 2（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点．
x219．设O为坐标原点，动点M在椭圆C：?y2?1上，过M作x轴的垂线，垂足
2uuuruuuur为N，点P满足NP?2NM． （1）求点P的轨迹方程；
uuuruuur（2）设点Q在直线x??3上，且OP?PQ?1．证明：过点P且垂直于OQ的直线
l过C的左焦点F．
20．已知抛物线C：y2=2px过点P(1，1).过点(0，
1)作直线l与抛物线C交于不同的2两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A为线段BM的中点.
1x2y221．设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是
2ab抛物线y2?2px(p?0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；
1． 2（2）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为
6，求直线AP的方程． 2
近3年高考真题外接球内切球问题专练
