计算题：
1111 . 三人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为、、,求
534(1)将此密码译出的概率, (2)恰好有一个人译出此密码的概率.
解.：设Ai??第i人能破译?,i?1,2,3,则
423 (1) P(?Ai)?1?PA1A2A3?1?PA1P(A2)P(A3)?1????0.6 (6分)
534i=13????(2) P?A1A2A3??P?A1A2A3??P?A1A2A3? (8分)
?P?A1?P(A2)P(A3)?PA1P(A2)P(A3)?PA1P(A2)P(A3) (10
????分)
12341342113?????????? (12分) 53453453430
2 . 已知随机变量X的分布律为 X -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.3 0.4 令Y?cosπX， 求：（1）Y的分布律；（2）E（Y）。 解：（1） P 0.1 0.2 0.3 X -1 0 1 Y -1 1 -1 故Y的分布分律为 Y -1 1 P 0.4 0.6 从而E(Y)=(-1)*0.4+1*0.6=0.2
0.4 2 1
?32?xy,0?x?2,0?y?13 . 设(X,Y)的概率密度为：f(x,y)??2
?其它?0,（1）试求关于X和Y的边缘分布密度，（2）问X和Y是否相互独立(需说明理
由). 解：
fX(x)???????132?1xydy,0?x?2??x,0?x?2f(x,y)dy???02??2 (3分) （为
??0,其它其它??0,什么等于二分之一x而不是二分之三x？））
fY(y)???????2322??0xydy,0?y?1?3y,0?y?1f(x,y)dx??2?? (6分)
0,其它??0,其它?（这里dy应该是dx）
从而:
fX(x)?fY(y)?f(x,y),故X和Y相互独立. (12分)
4 . 设随机变量X和Y的方差分别为25和36，相关系数为0.4，求D（X+Y）及D（X-Y）. 解：
D(X+Y)=DX+DY+2?XYDXDY?25?36?2?0.4?25?36?85 (6分) D(X-Y)=DX+DY-2?XYDXDY?25?36?2?0.4?25?36?37 (12分)
5 . 设总体X具有概率密度
??x??1f(x)=??00?x?1其它
x1,x2,?,xn为来自总体X的容量为n的样本，求θ的极大似然估计. 解：
L(?)??f(xi,?)??i?1nn?x?ii?1nn?1,0?xi?1,i?1,2,...n. (4分)
lnL(?)?nln??(??1)?lnxi. (8分)
i?1dlnL(?)nn令???lnxi?0,得:???d??i?1
n?lnxi?1n. (12分)
i1 . 两门高射炮对一架敌机一齐各发一炮，它们的命中率分别为20％，30％。 求：(1)敌机至少中一弹的概率；(2)敌机恰中一弹的概率
解.设Ai表示第门高射炮击中敌机i,i?1,2,则
(1) P(A1?A2)?P?AP?A2??0.44 1??P?A2??P?A1A2??P?A1??P?A2??P?A1??(6
分
)
(2)
P(A1A2)?P(A1A2)?P?A1?P(A2)?P(A1)P?A2??0.38
(12分)
2 . 某射手有3发子弹，射一次命中的概率为，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽。设X表示耗用的子弹数。 求：（1）X的分布列；（2）E（X） 解： X的可能取值为1,2,3,于是
2212P?X?1??,PX??2???,?PX??3? 333923112?()? (6分) 39从而X的分布列为
X 1 2 3 P 2/3 2/9 1/9
从而EX=13/9 (12分)
3 . 设随机向量(X，Y)概率密度为
?8xy,0?x?1,0?y?xf(x,y)=?
其他?0, 求(1)关于边缘概率密度fX(x),fY(y) (2)概率P{Y≤解：
X} 2fX(x)??????x3???08xydy,0?x?1?4x,0?x?1 (3分) f(x,y)dy????其它?0,?其它?0,fY(y)???????18xydy,0?y?1?4y(1?y2),0?y?1?f(x,y)dy???y?? （这里
0,其它??其它?0,应该是dx） (6分)
x1X??P?Y?????f(x,y)dxdy??dx?28xydy?1/4.002??xy?2 （不理解）
(12分)
4. 两个相互独立的均匀分布的随机 变量X，Y的分布密度分别为：
?1,0?x?1?1,0?y?1，fY(y)?? fX(x)??其它其它?0,?0,求Z?X?Y的概率密度.
解：Z?X?Y在[0,2]中取值按卷积公式.Z的分布密度为 fZ(z)?? ?
kk5 . 设总体X服从二项分布：P(X?k)?Cmp(1?p)m?k,k?0,1,2,?,m，其中p????f(x)Yf(?zXx)?d?x01Y?f( z ) x dx (6分)
0?x?1z?,?1?x??z,0?z?1?dx??2?z,1?z? 2 (12分) z?0,其他?,是未知参数，x1,x2,?，xn是总体X的样本。求参数p的极大似然估计量。 解：
xixiL??CmP(1?P)m?xi (4分)
i?1nlnL??lnC?lnp?xi?(nm??xi)ln(1?p) (8分)
ximi?1i?1i?1nnn.ndlnLn111n令??xi??(nm??xi)?0.得:p?xi. (12分) ?dpp1?pnmi?1i?1i?11 . 在房间里有5个人，分别佩戴从1号到5号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码。（1）求最小号码为2的概率；（2）求最大号码为5的概率。 解：
C32(1) 设X表示选出的3人中的最小号码,则P(X?2)?3?3/10 (6
C5分)
2C4(2) 设Y表示选出的3人中的最大号码,则P(Y?5)?3?3/5
C5(12分)
2 . 已知随机变量X的分布律为 X -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.3 0.4 令Y?cosπX， 求：（1）Y的分布律；（2）E（Y）。
解： P X Y 0.1 -1 -1 0.2 0 1 0.3 1 -1 0.4 2 1 故Y的分布分律为 (6分) Y -1 1 P 0.4 0.6 (8分)
从而E(Y)=(-1)*0.4+1*0.6=0.2 (12分)
3 . 随机变量（X，Y）的联合概率密度为
?1?8(x?y) p(x,y)????0??0?x?2,0?y?2
其它求(1)关于X、Y的边缘分布密度;(2) 问X、Y是否相互独立(需说明理由)
211解：（1） 当0?x?2,时fX(x)??(x?y)dy?(x?1) (2分)
084?1?(x?1),0?x?2从而:fX(x)??4?其它?0,
?1?(y?1),0?y?2同理fY(y)??4 、
?其它?0,(2)由上知: fX(x)?fY(y)?f(x,y).故X与Y不是相互独立的.
?3x,0?x?1,0?y?x(X,Y)4 . 设随机变量的分布密度为f(x,y)??，试求
0,其它?Z?X?Y的分布函数和分布密度.
解：当z?0,FZ(z)?0,当0?z?1时 FZ(z)??dx?3xdy??dx?00zzx113xdy?z(3?z2) x?z2x当z?1时,FZ(z)??dx?3xdy?1
001x
概率论计算题
