例9 计算2xy??d?,其中D是由直线y?1,x?2及y?x所围成的闭区域. D22y1?x?yd?, 其中D是由直线y?x、x??1和y?1所围成的闭区域. ??D例10 计算例11 计算二重积分例12 计算2其中D是由抛物线xyd?,y?x及直线y?x?2所围成的闭区域. ??D??eDy2dxdy, 其中D由y?x,y?1及y轴所围. 例13交换二次积分?dx?01xx2f(x,y)dy的积分次序. 例14 交换二次积分 ?10dx?f(x,y)dy??dx?01x22?x0f(x,y)dy 的积分顺序. 例15 将下列区域用极坐标表示 2222(1) D?(x,y)|x?y?2x； (2） D?(x,y)|x?y?y； ????222(3）(x,y)|x?y?a(a?0)； (4） D为y?x,y?0与x?1所围区域. ??解： （1） （2） （3） （4） ?x例16 计算??eD2?y2d?，其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域 例17 计算??Dy222, 其中D是由曲线x?y?2x所围成的平面区域. d?2x例18 写出在极坐标系下二重积分??f(x,y)dxdy的二次积分，其中区域 DD?{(x,y)|1?x?y?1?x2,0?x?1}. 例19 计算二重积分??eDy?xy?xdxdy，其中区域D由x?0，y?0，x?y?2所围成. 例20 求由直线x?y?c、x?y?d、y?ax、y?bx?0?a?b,0?c?d?所围成的闭区域D的面积. 例21 求两个底面圆半径相等的直角圆柱所围立体体积. 例 22 求球体x2?y2?z2?4a2被圆柱面x2?y2?2ax(a?0)所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体
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积. 例23 求曲线(x2?y2)2?2a2(x2?y2)和x2?y2?a所围成区域D的面积 x2y2z2*例 24 求椭球体2?2?2?1的体积. abc 例25 一圆环薄片由半径为4和8的两个同心圆所围成，其上任一点处的面密度与该点到圆心的距离成反比，已知在内圆周上各点处的面密度为1，求圆环薄片的质量. 例26 求位于两圆??2sin?和??4sin?之间的均匀薄片的重心. *例27 求曲线r?a?1?cos??所围平面薄片???1?对极轴的转动惯量.
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授课序号02
教 学 基 本 指 标 教学课题 第七章 第二节 三重积分的概念、计算和应用 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 三重积分的计算方法 教学难点 三重积分的计算方法 作业布置 课后习题 参考教材 同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》大纲要求 理解三重积分的概念， 了解三重积分的性质， 了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标) 教 学 基 本 内 容 一、 基本概念： 三重积分的概念 定义 设函数f?x,y,z?在空间的有界闭区域，?上有界，将?任意地分成n个小区域?vi?i?1,2,?,n?，其中既?vi表示第i个小区域，也表示它的体积.任取?xi,yi,zi???vi?i?1,2,?,n?，记??max??vi的直径?，1?i?n若lim??0?f?x,y,z??v存在，则称函数f?x,y,z?在?上可积，此极限称为函数f?x,y,z?在?上的三重积iiiii?1n分，记作即 ???f?x,y,z?dv， ????f?x,y,z?dv?lim?f?x,y,z??v. ?n??0iiiii?1其中dv为体积元素. 在直角坐标系中，有时也把体积元素dv记为dxdydz，而把三重积分记为其中dxdydz称为直角坐标系下的体积元素. 二、 定理与性质： 1、三重积分的计算 考虑有如下几何特征的闭区域?：平行于z轴且穿过?内部的直线与?的边界曲面S相交不多于两点，
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???f?x,y,z?dxdydz ?闭区域?投影到xOy面得到一个平面闭区域Dxy. S1:z?z1(x,y),S2:z?z2(x,y). ????f?x,y,z?dv???dxdy?Dxyz2?x,y?z1?x,y?f?x,y,z?dz 如果闭区域Dxy又可以表示为Dxy?by2?x???x,y?y?x??y?y12?x?,a?x?b? ???f?x,y,z?dv??dx???dy???ay1xz2?x,y?z1x,y?f?x,y,z?dz 设??则??r,?,z?z?r,???z?z12?r,??,r1????r?r2???,??????， z2?r,??z1?r,??????f?x,y,z?dv??d????r2???r1???rdr?f?rcos?,rsin?,z?dz 2、三重积分的应用 空间立体的体积 空间立体?的体积V????dv ?*3、三重积分在物理中的应用 （1）空间物体的质量： M??????x,y,z?dv，其中????x,y,z?为空间物体的体密度函数. ?（2）空间物体的质心： x????x??x,y,z?dv??????x,y,z?dv?，y????y??x,y,z?dv??????x,y,z?dv?，z????z??x,y,z?dv??????x,y,z?dv?； 空间立体的形心： x????xdv????dv?，y????ydv????dv?，z????zdv????dv?. 三、主要例题： 例1 计算三重积分围成的闭区域. 例2 计算三重积分域．
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???xdxdydz, 其中?为三个坐标面及平面x?y?z?1所 ????xdxdydz, 其中?为由双曲抛物面xy?z及平面x?y?1?0,z?0围成的闭区?例3 化三重积分???f(x,y,z)dxdydz为先对z，次对y，最后对x的三次积分,其中积分区域?为由曲面?z?x2?2y2及z?2?x2所围成的闭区域. 例4 计算三重积分围成的闭区域. 例5 计算I?222?，其中由与z?2所围成. zdvz?x?y????2222?z?4?x?y，其中区域由球面及旋转抛物面zdvx?y?3z所围. ??????zdxdydz, 其中?为三个坐标面及平面x?y?z?1所 ?例6 计算三重积分I??例7求由平面x?0，y?0，z?0，3x?2y?6及曲面z?3?12x所围立体的体积. 2例8 设a?0，计算旋转抛物面x2?y2?az、圆柱面x2?y2?2ax与平面z?0所围成的立体?的体积. a???a?例9设常数a?0、h?0，若立体?由平面z?0，圆柱面?x???y2???以及锥面2???2?z?hx2?y2围成，其各点处的体密度等于该点到yOz平面的距离的平方，求该立体?的质量. a例10 求球心与锥体的顶点皆在原点，球体半径为a，锥体中心轴为z轴，锥面与z轴正向交角为?的均例11 求均匀球体x2?y2?z2?R2对三个坐标轴的转动惯量. 22匀球顶锥体的质心.
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同济大学高等数学教案第七章多元函数积分学
