同济大学高等数学教案第七章多元函数积分学

高等数学教学教案

第七章 多元函数积分学

授课序号01

教 学 基 本 指 标 计算和应用 课的类型 复习、新知识课 教学课题 第七章 第一节 二重积分的概念、教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 二重积分的计算方法 教学难点 二重积分的应用 作业布置 课后习题 参考教材 同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》大纲要求 理解二重积分， 了解二重积分的性质 掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)， 会用二重积分求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量等) 教 学 基 本 内 容 一、基本概念： 1. 曲顶柱体的体积 曲面z?f(x,y)在平面闭区域D上连续，且有f(x,y)?0. 过D的边界作垂直于xOy面的柱面S，则区域D和柱面S以及曲面z?f(x,y)构成一个封闭的立体，称为以D为底的，z?f(x,y)为顶的曲顶柱体. lim?f(xi,yi)??i即为所求的曲顶柱体的体积. ??0i?1n2. 二重积分的概念 设f(x,y)是平面闭区域D上的有界函数，将D任意分割成n小块：?D1,?D2,为??i(i?1,2,n?Dn，记第i块的面积，作?f(xi,yi)??i，取??maxdiam{??i}，.n)，在第i块上任取一点(xi,yi)（见图7-4）i?11?i?n 1

即?是各?Di的直径中的最大值. 当??0时，如果lim??0?f(x,y)??iii?1ni总是存在，则极限值称为函数f(x,y)在平面闭区域D上的二重积分，记为 ?f(x,y)????f(x,y)d??lim?D?0iii?1ni. 其中D称为积分区域，f(x,y)称为被积函数，d?称为面积微元，f(x,y)d?称为被积表达式，?f(x,y)??iii?1ni称为积分和. 3、X?型区域上的二重积分 若积分区域D可以用不等式 ?(x,y)|?1(x)?y??2(x),a?x?b? 来表示，其中函数?1(x),?2(x)在区间[a,b]上连续，这样的区域称为X?型区域. 4、Y?型区域上的二重积分 设积分区域D可以用不等式 ?1(y)?x??2(y),c?y?d 来表示，其中函数?1(y),?2(y)在区间[c,d]上连续，这样的区域称为Y?型区域 二、定理与性质： 1、定理1 在区域D上的连续函数一定是D上的可积函数. 2、二重积分的性质 性质1 性质2 ???f(x,y)?g(x,y)?d????f(x,y)d????g(x,y)d?； DDD??kf(x,y)d??k??f(x,y)d?DD(k?R)； 性质3 设D由D1、D2组成，则 D?D1?D2??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?； D1D2性质4 如果f(x,y)?1，则有??1dx???dx?D的面积； DD性质5 如果在区域D上满足f(x,y)?g(x,y)，则有??f(x,y)d????g(x,y)d?； DD 2

特别地, 有 ??f(x,y)d????|f(x,y)|d?. DD性质6 设SD是区域D的面积. 如果f(x,y)在D上有最大值M和最小值m，则有 mSD???f?x,y?d??MSDD； 这个不等式称为二重积分的估值不等式. 性质7 （二重积分的中值定理）如果f(x,y)在有界闭区域D上连续，则在D上至少可以找到一点(?,?)，使得 ??f(x,y)d??f(?,?)?SDD. 3、直角坐标系下二重积分的计算 设函数z?f(x,y)在矩形区域D?{(x,y)|a?x?b,c?y?d}上连续，且f(x,y)?0. D?[a,b]?[c,d]??f(x,y)dxdy??dx?f(x,y)dy??dy?f(x,y)dx accabddb若D是由x?a,x?b,y??1(x),y??2(x)所围成的X?型闭区域， ??D?2(x)b?2(x)??f(x,y)dxdy???f(x,y)dydx??dx?f(x,y)dy ?a?a?1(x)??1(x)?b设D可以用不等式 ?1(y)?x??2(y),c?y?d 来表示， ??f(x,y)dxdy??Ddc??2(y)f(x,y)dx?dy?ddy?1(y)f(x,y)dx ?c??2(y)?????1(y)?4、极坐标系下二重积分的计算 区域D的积分限?????,r1(?)?r?r2(?). ??f(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rdrd? DD??d????r2(?)r1(?)f(rcos?,rsin?)rdr. *5、二重积分换元法 ??x?x?u,v?D设函数f?x,y?在xOy平面内的闭区域上连续，变换?将uOv平面内的闭区域D?变换成??y?y?u,v?xOy平面内的闭区域D，且满足

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（1）x?u,v?、y?u,v?在D?上具有一阶连续偏导数； （2）在D?上J???x,y??0； ???,????x?x?u,v?（3）变换?：D??D是一对一的，则有 ??y?y?u,v???f?x,y?dxdy???f?x?u,v?,y?u,v??Jdudv. DD?此式也称为二重积分换元公式. 6、二重积分应用举例 体积 在本章第一节已经知道，若z?f(x,y)在有界闭区域D上连续，且f(x,y)?0，则二重积分 ??f(x,y)d? D在几何上是以z?f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积，所以我们可以利用二重积分计算立体的体积. 质量与重心 设有一平面薄片，它位于xOy面内区域D上，在点(x,y)处的面密度为区域D上的连续函数?(x,y).平面薄片的质量为 m?平面薄片的重心坐标为 ???(x,y)d?. DM x??D,y?x?mm???(x,y)d?DMy??x?(x,y)d???y?(x,y)d?D???(x,y)d?D. 如果平面薄片是均匀的，即?(x,y)是常数，则均匀平面薄片的重心坐标为 x?其中A?1xd?,A??Dy?1yd?， A??D??d?为闭区域D的面积. D*平面薄片的转动惯量 设有一平面薄片，它在xOy平面上占有（有界闭）区域D，面密度为连续函数????x,y?，?x,y??D.薄片对x轴、对y轴的转动惯量为 4

Ix???y2??x,y?d?，Iy???x2??x,y?d?. DD 三、主要例题： 例1 用二重积分表示上半球体x2?y2?z2?1,z?0的体积，并写出积分区域. 例2 比较积分(1,0),(1,1),(2,0). 例3 不作计算，估计I?x2a2(xe??D22与ln(x?y)d?[ln(x?y)]d?的大小，其中区域D是三角形闭区域，三顶点各为????DD?y2)d?的值，其中D是椭圆闭区域： ?y2b2?1 (0?b?a). 例4 计算定积分?(x?y)dy. 例5 计算二重积分??edxdy, 其中区域D是由x?0,x?1,y?0, 01x?yy?1所围成的矩形. D例6 计算I?2xy??dxdy，其中D??0,1???1,2?. D例7 将下列区域写成X?型区域的表达式. （1） （2） 若D是由x?a,x?b,y??1(x),y??2(x)所围成的X?型闭区域， ??Db?2(x)b?2(x)f(x,y)dxdy????f(x,y)dy?dx??dx?f(x,y)dy ??1(x)?a?a?1(x)?例8 计算二次积分?0?1dx?xydy. xx 5