第四章 现代数学的发展趋势
一、现代数学的发展趋势内容概括
与古典数学相比，现代数学的发展从思想方法的角度看具有一些新的特征，本章内容通过数学的统一性、数学在自然科学和社会科学中的广泛应用、数学机械化的产生与发展及其意义、计算机促进计算数学的发展、计算机促进数学中新学科的发展这些方面来认识和理解现代数学的发展趋势。 下面从以下几个方面来分析： ● 数学的统一性 ● 数学应用的广泛性 ● 计算机与数学发展
1．数学的统一性 所谓统一性，就是部分与部分、部分与整体之间的协调一致。客观世界具有统一性，数学作为描述客观世界的语言必然也具有统一性。
数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现。它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。 ● 数学的统一性发展的三个阶段
（1）数学从经验积累到严格的演绎体系建立，其特征逐步明显，在中世纪时，从研究对象和方法来看，初等数学有了一定的统一性。特别是17世纪解析几何的诞生，使数学中的代数与几何统一起来，说明统一性是数学的特征。生了变革，结果是数学分支愈来愈多，数学表现的更加多样化。因此，需要重新认识数学的统一性。为此，数学家们作了很多努力，到20世纪30年代，法国的布尔巴基（Bourbaki）学派提出，利用数学内在联系和公理化方法从数学各个分支中提炼出各种数学结构。他们认为数学的发展无非是各种结构的建立和发展，“数学好比一座大城市。城市中心有些巨大的建筑物，就好比是一个个已经建成的数学理论体系。城市的郊区正在不断地并且多少有点杂乱无章地向外伸展，他们就好像是一些尚未发育成型的正在成长着的数学新分支。与此同时，市中心又在时时重建，每次都是根据构思更加清晰的计划和更加合理的布局，在拆毁掉旧的迷宫似的断街小巷的同时，将修筑起新的更直、更宽、更加方便的林荫大道通向四方，……。”
(2)布尔巴基学派在集合论的基础上建立了三个基本结构（即代数结构、序结构和拓扑结构），然后根据不同的条件，由这三个基本结构交叉产生新的结构，如分析结构、布尔代数结构等等。他们认为整个数学或大部分数学都可以按照结构的不同而加以分类，用数学结构能统一整个数学，各个数学分支只是数学结构由简单到复杂，由一般向特殊发展的产物。数学的不同分支是由这些不同的结构组成的，而这些结构之间的错综复杂的联系又把所有的分支连成一个有机整体。因此可以说，布尔巴基学派用数学结构显示了数学的统一性。
（3）20世纪下半叶，数学已经发展成一个庞大的理论体系，数学分工愈来愈细，分支愈来愈多，分支之间的联系愈来愈不明显，但是，数学学科的统一化趋势也在不断加强，主要体现在数学的不同分支领域的数学思想和数学方法相互融合，导致了一系列重大发现以及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起：例如微分拓扑学的建立、发展；整体微分几何研究的突破；代数几何领域的进展；多复变函数理论以及其他数学分支的突破和发展都有密切的联系。
1 / 8
2．数学应用的广泛性 随着科学发展，学科之间的相互渗透已是一种普遍现象，而其中数学的渗透又特别明显。这种渗透不能简单地理解为把数学作为一种科学研究的工具和技术，而是新的研究领域和交叉学科建立的动力。数学已成为其他学科理论的一个重要组成部分，这是数学应用日益广泛的体现。这种体现具体讲就是数学化。 现代科学发展的一个显著特点是，自然科学、技术科学以及社会科学都普遍地处于数学化的过程之中，它们都在朝着愈来愈精确的方向发展。电子计算机的发展和应用，为各门科学的数学化提供了可能性，因而加速了各门科学数学化的趋势。 我们可以分成几个方面来分析： ● 自然科学的数学化
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。它的理论深刻地反映和刻画了现实世界的空间形式和数量关系。随着社会进一步的发展，愈来愈需要对自然现象和客观物质作定量研究。“数”与“形”在现实世界中无处不在，客观世界的任何一种物质的几何形态都具有空间形式，其运动的路线是曲线，而曲线是由一些数量的某种关系来刻画。这就决定了数学及其方法可以运用于任何一门自然科学，数学是自然科学的基础。 （1）以物理学为例：
物理学应用数学的历史较长，18世纪是数学与经典力学相结合的黄金时期。
19世纪数学应用的重点转移到电学与电磁学，并且由于剑桥学派的努力而形成了数学物理分支。
20世纪以后，随着物理科学的发展，数学相继在应用于相对论、量子力学以及基本粒子等方面取得了一个又一个的突破，极大地丰富了数学物理的内容，同时，也反过来刺激了数学自身的进步。
例1 在20世纪初，狭义相对论和广义相对论的创立过程中，数学都起到了作用。 1907年，德国数学家闵可夫斯基（H. Minkowski，1864-1909）提出了”闵可夫斯基空间”（三维空间+时间的四维时空），闵可夫斯基几何为爱因斯坦的狭义相对论提供了合适的数学模型。
有了闵可夫斯基时空模型后，爱因斯坦又进一步研究引力场理论以建立广义相对论。1912年夏，他已经概括出新的引力理论的基本物理原理，但为了实现广义相对论的目标，还必须有理论的数学结构，爱因斯坦为此花费了三年时间，最后在数学家格罗斯曼（M.Grossmann）帮助下掌握了发展相对论引力学说所必须的数学工具----以黎曼几何为基础的绝对微分学，即爱因斯坦后来所称的张量分析。在1915年11月25日发表的一篇论文中，
爱因斯坦导出了广义协变的引力场方程：
就是黎曼度规张量。爱因斯坦指出：“由于这组方程，广义相对论作为一种逻辑
结构终于大功告成！”
根据爱因斯坦的理论，时空整体是不均匀的，只是在微小的区域内可以近似地看作均匀。在数学上，广义相对论的时空可以解释为一种黎曼空间，非均匀时空连续区域可借助于现成的黎曼度量：
2 / 8
来描述。这样，广义相对论的数学表述第一次揭示了非欧几何的现实意义，成为历史上数学应用最伟大的例子之一。
自然科学研究存在着两种方式：定性研究和定量研究。定性研究揭示研究对象是否具有某种特征，定量研究揭示研究对象具有某种特征的数量状态。精确的定量研究使人们能够对客观事物的认识从现象上升到本质，从而可能有精确的科学预见功能。数学是实现定量研究的必要条件。所以，一门科学只有当它与数学充分地融合，才可能精确地揭示客观事物的状态和变化规律，才会显示其真正的价值。 因此，自然科学研究必然要经过定量研究过程，所以科学研究的一般过程是从定性研究出发，然后再研究其量的规律性，进行定量研究，并进一步把定性研究和定量研究相结合。 科学的数学化是有一个发展过程，它是从低级运动形态发展到高级运动形态，以简单运动形态到复杂运动形态。与此相应的，是从物理学、力学、天文学开始，发展到化学、生物学和工程技术科学。 （2）以生物学为例
与物理和天文等学科相比， 生物学中应用相当迟缓. 将数学方法引进生物学的研究大约始于20世纪初. 英国统计学家皮尔逊（K.Pearson， 1857-1936）首先将统计学应用于遗传学和进化论， 并于1902年创办了《生物统计学》（Biometrika）杂志， 统计方法在生物学中的应用变的日益广泛。
意大利生物学家达松纳（D’Ancona）在研究地中海各种鱼群的变化及其彼此影响时，发现鲨鱼及其他凶猛大鱼的捕获量在全部渔获量中的比例成倍增长。他感到困惑的是作为鱼饵的小鱼也应该多起来，并且鲨鱼在鱼群中的总体比例应该不变的。什么原因使得鲨鱼的增长要比小鱼的增长更快呢？
达松纳尽一切生物学上的解释都无法解开这个谜，于是他请教意大利数学家伏尔泰拉
（V. Volterra）。1926年， 伏尔泰拉提出著名的伏尔泰拉方程： 方程中x表示食饵，即被食小鱼，y表示捕食者，即食肉大鱼（鲨鱼）。
用微分方程知识解释道：当捕鱼量减小时，捕食者（鲨鱼）增加，被食者（被食小鱼）减少；当捕鱼量增加时，捕食者减少，被食者增加。这给生物学一个满意的答复。这一现象现在称为伏尔泰拉原理，已在许多生物学领域中应用。如使用农药杀虫剂，若把害虫及其天敌一起毒杀，则由于杀死害虫数量猛增，根据伏尔泰拉原理，却会使捕食害虫的天敌下降更快，引起不利后果。
用微分方程建立生物模型在20世纪50年代曾获得轰动性成果，这就是描述神经脉冲传导过程的霍奇金-哈斯利（Hodgkin-Huxley）方程（1952年）和描述视觉系统侧抑制作用的哈特莱因-拉特里夫（Hartline-Ratliff）方程（1958年），它们都是复杂的非线性方程组，引起了数学家和生物学家的浓厚兴趣。这两项工作分别获得1963年和1967年的诺贝尔医学生理学奖。
（3）以医学为例
20世纪60年代，数学方法在医学诊断技术中的应用提供了这方面的又一重要实例。就是CT扫描仪的发明。1963-1964年间，美籍南非理论物理学家科马克（A.M.Cormack）发表了计算人体不同组织对X射线吸收量的数学公式，解决了计算机断层扫描的理论问题。科马克的工作促使英国工程师亨斯菲尔德（G.N.Hounsfield）发明了第一台计算机X射线断层扫描仪即CT扫描仪。科马克和亨斯菲尔德共同荣获了1979年诺贝尔医学生理学奖。
3 / 8
数学家冯 ? 诺依曼说过：“在现代实验科学中，能否接受数学方法或与数学相近的物理学方法，已越来越成为该科学成功与否的重要标志”
随着电子计算机的发展和应用，人们已经能处理越来越复杂的现象，比如，复杂程度远远超过物理现象、化学现象、生物现象。数学已成为自然科学的强有力的工具。现代科学技术发展的一个重要趋势之一，是各门科学的数学化。这种数学化已获得了丰硕的成果。 ● 社会科学的数学化
20世纪数学发展的另一个特点就是数学广泛应用于社会科学之中，即社会科学数学化的趋势增长。
所谓社会科学数学化，就是指数学向社会科学的渗透，也就是运用数学方法来揭示社会现象的一般规律。
由于社会现象的随机因素较多，情况较复杂，因此在数学化过程中所需的变量参数也较多，因此造成社会科学数学化的难度比较大，社会科学数学化的进程也就较晚。但是，随着各门科学和数学本身的进步，影响各种社会现象的因素将逐渐被数学所阐明，因此运用数学的可能性就愈来愈大。从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必然的趋势，其主要原因可以归结为有下面四个方面：
第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学数学化的最根本的因素。 第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精确化。 第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。如概率论、离散数学、模糊数学、数理逻辑、系统论、信息论、控制论、突变论等，都为社会科学数学化提供了有力的武器。这些新的数学分支使社会科学数学化成为可能。
第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理。 例1 社会科学的数学化，最早是经济学。在经济学中开始引用数学方法，如果从古尔诺（Cournot）在1883年发表《财富理论的数学原理之研究》一书算起，已有100多年的历史了。
现代数学揭示了经济学中新的经济规律，促进了经济知识的完善化。例如，在经济学中应用运筹学中的博弈论、决策论、线性规划等数学方法，来研究消费理论、生产理论、投资理论、收入理论等。数学与经济学相结合产生了数学经济学。20世纪50年代以后，数学方法在西方经济学中占据了重要地位，以致大部分诺贝尔经济学奖都授予了与数理经济学有关的工作。前苏联数学家康托洛维奇（А.В.Канторович， 1912-1986）和美籍荷兰经济学家库普曼斯（T.C.Koopmans）同获1975年度诺贝尔经济学奖. 康托洛维奇和美国数学家丹齐格（G.B.Dantzig）各自独立创建的线性规划论，在20世纪50年代被库普曼斯应用于经济学而获得成功。
20世纪50年代以来，数量经济学由于公理化方法的引入而取得了重大进展。1959年美籍法国数学家、经济学家德布洛（G.Debreu）发表了<价格理论>，对一般经济均衡理论给出了严格的公理化表述。从此，公里化方法成为现代经济学研究的基本方法。 一般经济均衡价格的存在问题是经济界长期关注但悬而未决的问题。粗略地讲，这问题是问：是否存在一个价格体系，使得消费需求与生产供给相等。这样的价格体系就叫均衡价格体系。早在1874年，法国经济学家（L.Walras）就已经将这个问题归结为由供给等于需求所决定的方程组的求解。这样导出的一般是一组复杂的非线性方程，虽经过许多数学家和经济学家的努力，问题始终没有解决。直到1954年，德布洛和美国经济学家阿罗（K.Arrow）第一次利用凸集理论，不动点定理等给出了一般经济均衡的严格表述和存在性证明。德布洛的<价格理论>又使这一理论体系公理化。阿罗和德布洛先后于1974年和1983年获得诺贝尔经济学奖。
例2 数学与语言相互渗透，产生了数理语言学这门新的交叉学科。它用数学方法来研究语
4 / 8
言结构和语法形式属性。随着现代科学技术的发展和电子计算机的推广应用，使人脑与电脑通力协作，使数学与语言融为一体，产生计算机语言。
例3 数学向文学研究领域的渗透，使人们发现数学与文学之间存在联系，像英国数学家西尔维斯特（Sylvester）撰写的《诗的格律》一文，就应用了数学方法对莎士比亚的《十四行诗》进行了分析。1980年，美藉华人陈炳藻先生运用了数学与计算机相结合的手段发表了《从词汇上统计，论〈红楼梦〉的作者问题》。还有复旦大学教授李贤平先生对此亦作出了贡献。
例4 数学向社会学领域的渗透，产生了一门新兴的定量社会学，它应用协同学的理论和数学方法研究社会学问题，使社会学开始走上定量化的道路。
20世纪60年代前苏联科学家用定量方法来研究历史问题，从而产生了计量历史学。 运用计量方法可以把抽象的东西变得具体化，使微观和宏观研究更好地结合起来，使微观研究更好地成为宏观研究的基础。
社会科学的数学化已为人们所广泛接受，社会科学的数学化是数学与社会科学相互作用、相互渗透的进程。一方面，它把数学运用于各门社会科学，从而极大地提高社会科学研究的质量和效率，使社会科学更加完善和更具有说服力。另一方面，它使社会科学与数学相结合产生新的交叉学科，从而进一步促进数学的发展。 3．计算机与数学发展
电子计算机是20世纪最伟大的技术成就之一。这个最初为了代替人类计算的机器使得人类面临着一场新的科学技术革命。在数学方面，计算机至少有三种新的用途，第一，用来证明一些数学命题，而通常证明这类命题，需要进行异常巨大的计算与演绎工作。第二，用来预测某些数学问题的可能结果。第三，用来作为一种验证某些数学问题结果的正确性的方法。
计算机的发展促进了数学的变革与发展，而数学的突破提升了计算机的层次，有人说“计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。”总之，计算机给数学家们提供了一种有效的实验工具。计算机的发展为数学开辟了一个新的天地，对于数学的发展具有决定性的影响。 计算机与数学的联系可以从以下几个方面来理解。 ● 数学机械化
（1）数学机械化的产生与发展 数学的脑力劳动有两种主要形式：定理证明和数值计算。人们一直希望能为脑力劳动找到一种替代方法，即脑力劳动怎么机械化的问题。
20世纪40年代，出现了计算机以后由此产生一门新的学门，叫做人工智能。人工智能考虑诸如，机器翻译，机器推理，机器下棋，机器看病等等，它的目的就是利用计算机来代替或减轻某种形式的脑力劳动。
“不论是机器代替体力劳动，或是计算机代替某种脑力劳动，其所以成为可能，关键在于所需代替的劳动已经‘机械化’，也就是说已实现了刻板化或规格化。”数学问题的机械化就是要求在运算或证明过程中，每前进一步之后，都有确定的、必然选择的下一步，这样沿着一条有规律的、刻板的道路，一直达到结论。
“贯穿在整个数学发展历史过程中有两个中心思想，一是公理化思想，另一是机械化思想。”因此脑力劳动机械化的尝试，可以追述到几千年以前。比如，中国的《九章算术》中就有了对开平方和开立方机械化过程的详细说明。但是从19世纪开始发生的一些事件对当代数学机械化的形成与发展具有决定性意义。 1854年，英国数学家乔治·布尔（George Boole）把逻辑简化成的一种代数，用一些符号把逻辑推理形式化，发表了《逻辑的数学分析》和《思维规律的研究》，从而创立了布尔代数。这种代数把逻辑推理简化成极其容易操作，因而可以减轻脑力劳动。这可以看作数学
5 / 8
现代数学发展趋势
