高考数学函数概念与基本初等函数第2讲函数的基本性质第2课时函数的奇偶性及周期性教案文新人教A版

由天下分享时间：2024/11/27 12:08:16 加入收藏我要投稿点赞

第2课时函数的奇偶性及周期性

一、知识梳理 1．函数的奇偶性奇偶性定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，偶函数都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，奇函数都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 [注意] 奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．

2．函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

[注意] 不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5. 常用结论

1．函数奇偶性常用结论

(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

2．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝

，则T＝2a(a>0)． f（x）

关于原点对称关于y轴对称图象特点 (3)若f(x＋a)＝－二、习题改编

，则T＝2a(a>0)． f（x）

1．(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( ) A．y＝xsin x C．y＝|ln x|

B．y＝xcos x D．y＝2

－x2

解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.

2．(必修4P46A组T10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)

?3??－4x＋2，－1≤x<0，??时，f(x)＝则f??＝．

?2???x，0≤x<1，

?3??1??1?解析：由题意得，f??＝f?－?＝－4×?－?＋2＝1.

?2??2??2?

答案：1

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.( ) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )

(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( ) (5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏

常见误区(1)利用奇偶性求解析式忽视定义域； (2)周期不能正确求出从而求不出结果．

1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝．

解析：当x<0时，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(x)为奇函数，所以f(－

x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，所以f(x)＝x(1－x)．

答案：x(1－x)

2．已知函数f(x)满足f(x＋2)＝－＝．

.当1≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105)

f（x）

解析：因为f(x＋2)＝－

，所以f(x＋4)＝f(x)，故4为函数f(x)的一个周f（x）

期．f(105)＝f(4×26＋1)＝f(1)＝1.

答案：1