一、知识梳理 １．导数的概念
（１）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数 称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率
错误! 错误!＝错误!错误!为函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0），即f′（x0）＝错误!错误!＝错误! 错误!.
（２）导数的几何意义
函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点P（x0，y0）处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数s（t）对时间t的导数）．相应地，切线方程为y—y0＝f′（x0）（x—x0）．
（３）函数f（x）的导函数
称函数f′（x）＝_错误!_错误!为f（x）的导函数． ２．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数 y＝c（c为常数） y＝xα（α为实数） y＝ax （a>0且a≠１） y′＝0 y′＝αxα—１ y′＝axln a 特别地（ex）′＝ex y＝logax （x>0，a>0，且a≠１） y′＝错误! 特别地（ln x）′＝错误! y＝sin x y＝cos x y＝tan x y＝cot x ３．导数的运算法则 y′＝cos__x y′＝—sin__x y′＝错误! y′＝—错误! （１）[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）；
（２）[f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）； （３）错误!′＝错误!（g（x）≠0）． ４．复合函数的导数
复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对
x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
常用结论
１．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． ２．[af（x）＋bg（x）]′＝af′（x）＋bg′（x）．
３．函数y＝f（x）的导数f′（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′（x）|反映了变化的快慢，|f′（x）|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
二、教材衍化
１．函数y＝xcos x—sin x的导数为（ ） Ａ．xsin x Ｂ．—xsin x Ｃ．xcos x
Ｄ．—xcos x
解析：选Ｂ．y′＝x′cos x＋x（cos x）′—（sin x）′＝cos x—xsin x—cos x＝—xsin x. ２．曲线y＝１—错误!在点（—１，—１）处的切线方程为________． 解析：因为y′＝错误!，所以y′|x＝—１＝２． 故所求切线方程为２x—y＋１＝0． 答案：２x—y＋１＝0
３．有一机器人的运动方程为s＝t２＋错误!（t是时间，s是位移），则该机器人在t＝２时的瞬时速度为________．
解析：因为s＝t２＋错误!，所以s′＝２t—错误!， 所以s′|t＝２＝４—错误!＝错误!. 答案：错误!
一、思考辨析
判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（１）f′（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率． （ ） （２）求f′（x0）时，可先求f（x0），再求f′（x0）．（ ） （３）曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．（ ）
（４）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． （ ）
（５）曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线与过点P（x0，y0）的切线相同．（ ） 答案：（１）× （２）× （３）√ （４）× （５）× 二、易错纠偏
错误!错误!（１）求导时不能掌握复合函数的求导法则致误； （２）不会用方程法解导数求值．
１．已知函数f（x）＝sin错误!，则f′（x）＝________． 解析：f′（x）＝[sin错误!]′＝cos错误!·错误!′＝２cos错误!. 答案：２cos错误!
２．设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）＝f′错误!sin x＋cos x，则f′错误!＝________． 解析：因为f（x）＝f′错误!sin x＋cos x， 所以f′（x）＝f′错误!cos x—sin x， 所以f′错误!＝f′错误!cos错误!—sin错误!， 即f′错误!＝—１，所以f（x）＝—sin x＋cos x，
f′（x）＝—cos x—sin x.
故f′错误!＝—cos错误!—sin错误!＝—错误!.
导数的计算（多维探究） 角度一 根据求导法则求函数的导数
求下列函数的导数：
北师大版版高考数学一轮复习第三章导数及其应用变化率与导数导数的计算教学案理
