密云区2019-2020学年第二学期高三第一次阶段性测试
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．
题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 A 5 D 6 B 7 D 8 D 9 C 10 C
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．
（0，?2）11．?10 12．；y??x 13．16；21
14．π；[?π+kπ,kπ],k?Z 15.(??,3)． 2备注：若小题有两问，第一问3分，第二问2分．
三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题满分14分）
b2?c2?a21?， （Ⅰ）解：由余弦定理得cosA?2bc2在?ABC中，0?A?π，所以A?若选择①和②
方法一 将a?π． 37，b?2代入b2?c2?a2?bc化简得c2?2c?3?0．
所以c??1（舍），或c?3． 因此S?ABC?方法二 由正弦定理得
11333bcsinA??2?3??． 2222ab， ?sinAsinB所以723，因此sinB?． ?sinB3722． 7在?ABC中，因为a?b，所以A?B． 因此B为锐角，所以cosB?所以sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?33． 27高三数学试题参考答案 第1页共9页
因此S?ABC?133absinC?． 22若选择①和③
由sinC?2sinB得
2RsinC?2?2RsinB（R为?ABC外接圆的半径）， 所以c?2b．
将a?7，c?2b代入b2?c2?a2?bc解得b?7． 3所以c?27． 311727373． bcsinA?????222633所以S?ABC?若选择②和③
由sinC?2sinB得
2RsinC?2?2RsinB（R为?ABC外接圆的半径）， 所以c?2b．
因为b?2，所以c?4．
所以S?ABC?（Ⅱ）解：因为A?113bcsinA??2?4??23． 2222ππ，所以B?C?．
332π 所以cosB?cosC?cosB?cos(?B)
32π2πcosB?sinsinB ?cosB?cos33 ?因为0?B?所以当B?31πsinB?cosB?sin(B?)． 2262ππ5π，所以?B?． 366π时，cosB?cosC有最大值1. 3
17. （本小题满分14分）
（Ⅰ）解：记“选取的这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者”为事件A.
有效问卷共有 380+550+330+410+400+430=2500（份）， 受访者中膳食合理习惯良好的人数是400?0.65?260人，
所以，P(A)?260=0.104． 2500（Ⅱ）解：记事件A为“该区卫生习惯良好者”，
事件B为“该区体育锻炼状况习惯良好者”，
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事件C为“该区膳食合理习惯良好者”， 由题意，估计可知P(A)=0.6，P(B)=0.8，P(C)=0.65，
设事件E为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯中，至少具备2个良好习惯”． 由题意知，
E?(ABC)U(ABC)U(ABC)U(ABC)
所以事件E的概率
P(E)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)
=P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)
=0.6?0.8?0.35+0.6?0.2?0.65+0.4?0.8?0.65+0.6?0.8?0.65 =0.168+0.078+0.208+0.312
=0.766
所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯中，至少具备2 个良好习惯的概率为0.766． （Ⅲ）解：D?6?D?1>D?5?D?4?D?3?D?2．
18．（本小题满分15分）
（Ⅰ）解：取AD中点为O，连接OP，OC和AC．
因为?PAD为等边三角形， 所以PO?OD．
因为平面PAD ⊥平面ABCD，PO?平面PAD，
所以PO?平面ABCD． 因为OC?平面ABCD，
所以PO?OC． 在菱形ABCD中，AD?CD，?ADC?60， 所以?ADC为正三角形，因此OC?AD．
以O为原点建立空间直角坐标系，如图所示．
oP z M x A B
N O C y D
0)，C(0，3，0)，D(?1,0,0)， 则O(0,0,0)，A(1，0，0)，B(2，3，13)，N(1,3,0)． P(0,0,3)，M(?,0,22uuuuruuuruuur13)，AB?(1,3,0)，AP?(?1,0,3)． 所以CM?(?,?3,22设平面PAB的法向量m??x，y，z?，
uuur??m?AB?0，??x?3y?0，由? 得? uuur???m?AP?0.??x?3z?0.
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令x?3，则m?(3,?1,1)．
设直线CM与平面PAB所成角为?，
uuuuruuuur|CM?m|315r??. 则有sin??|cos?CM,m?|?uuuu10|CM|?|m|2?5所以直线CM与平面PAB所成角的正弦值为15． 10（Ⅱ）解：因为OC?AD,OC?PO，所以OC?平面PAD．
uuur所以OC?(0,3,0)是平面PAD的法向量，
uuur则有cos?m,OC??uuurm?OC?35uuur???，
5|m|?|OC|5?3因为二面角B?AP?D的平面角为钝角， 所以二面角B?AP?D的余弦值为?5． 5（Ⅲ）解：结论MN//平面PAB．
uuuur33)， 因为MN?(,3,?22uuuur33)?1?0． 所以MNgm??3?3?(?1)?(?22uuuur因此MN?m．
又因为直线MN?平面PAB， 所以MN//平面PAB．
19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为f(x)?ex?ax?1?，x?R， ?ax?a?1?，x?R．
所以f'(x)?ex k?f'(0)?a?1， 又因为f(0)?1，
所以切线方程为y=(a+1)x?1.
（Ⅱ）解：因为f'(x)?e
x?ax?a?1?，x?R，a?R，
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（1）当a?0时
因为f'(x)?e?0,x?R，
所以f(x)的单调增区间是???,???，无单调减区间. （2）当a?0时
x1． a① 当a?0时，f(x)与f'(x)在R上的变化情况如下：
111x (??，-1-) ?1? (?1?,??) aaa令f'(x)?0，则x??1?f（'x） （fx） — ↘ 0 + ↗ 所以f(x)的单调减区间是(??，-1-)，单调增区间是(?1?②当a?0时，f(x)与f'(x)在R上的变化情况如下：
1a1,??)． ax 1(??，-1-) a+ ↗ ?1?0 1 a1(?1?,??) a— ↘ f（'x） （fx） 1,??)． a综上所述，当a?0时，f(x)的单调增区间是???,???，无单调减区间；当a?0时，f(x)
11的单调减区间是(??，-1-)，单调增区间是(?1?,??)；当a?0时，f(x)的单调增区
aa11间是(??，-1-)，单调减区间是(?1?,??)．
aa所以f(x)的单调增区间是(??，-1-)，单调减区间是(?1?（Ⅲ）解：方法一
因为f(x)?ex1a?ax?1?,x?R，
所以令f(x)?0，得ax?1?0. （1）当a?0时，方程无解，
此时函数f(x)无零点； （2）当a?0时，解得x??1， a此时函数f(x)有唯一的一个零点.
综上所述，当a?0时，函数f(x)无零点；当a?0时，函数f(x)有一个零点. 方法二
（1）当a?0时
x因为f(x)?e?0，
所以函数f(x)无零点；
（2）当a?0时
因为-1-11?0，f(0)?1?0，f(x)在区间(?1?,??)单调递增， aa高三数学试题参考答案 第5页共9页
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