以特殊三角形为背景的计算与证明
一、以等腰三角形为背景的计算与证明
1．如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE，设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是(B)
(第1题图) A. y＝
32
x2
B. y＝3x2 C. y＝23x2
D. y＝33x2
解：∵ON是Rt∠AOB的平分线， ∴∠DOC＝∠EOC＝45°. ∵DE⊥OC，
∴∠ODC＝∠OEC＝45°， ∴CD＝CE＝OC＝x，
∴DF＝EF，DE＝CD＋CE＝2x. ∵∠DFE＝∠GFH＝120°， ∴∠CEF＝30°， ∴CF＝CE·tan 30°＝3
3
x， ∴EF＝2CF＝23
3x，
∴S132
△DEF＝2DE·CF＝3x.
∵四边形FGMH是菱形， ∴FG＝MG＝FE＝23
3x.
∵∠G＝180°－∠GFH＝60°， ∴△FMG是等边三角形， ∴S△FGH＝33
x2
， ∴S232
菱形FGMH＝3
xx，
∴S阴影＝S△DEF＋S菱形FGMH＝3x2
. 故选B.
1
(第2题图)
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD. 证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC， ∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD， ∴∠CBE＝∠BAD.
(第3题图)
3．如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D. 证明：∵AB＝AC＝AD，
∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD， ∴∠ABC＝∠CBD＋∠D. ∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠D，
∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D. 又∵∠C＝∠ABC， ∴∠C＝2∠D.
4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°. (1)若AD＝2，求AB.
(2)若AB＋CD＝23＋2，求AB.
(第4题图)
(第4题图解)
解：(1)过点D作DE⊥AB于点E，过点B作BF⊥CD于点F. ∵∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝360°－∠A－∠C－∠ABC＝360°－45°－45°－105°＝165°，
2
∴∠BDF＝∠ADC－∠ADB＝165°－105°＝60°. 易证△ADE与△BCF为等腰直角三角形， ∵AD＝2，
∴AE＝DE＝2
2
＝2，
∵∠ABC＝105°，
∴∠ABD＝105°－45°－30°＝30°， ∴BE＝
DEtan30°＝2
3
＝6，
3
∴AB＝AE＋BE＝2＋6.
(2)设DE＝x，则AE＝x，BE＝xxtan30°＝3
＝3x，
3∴BD＝x2
＋（3x）2
＝2x. ∵∠BDF＝60°， ∴∠DBF＝30°， ∴DF＝1
2
BD＝x，
∴BF＝BD2
－DF2
＝（2x）2
－x2
＝3x， ∴CF＝3x，
∵AB＝AE＋BE＝x＋3x， CD＝DF＋CF＝x＋3x， AB＋CD＝23＋2， ∴x＝1，
∴AB＝3＋1.
二、以直角三角形为背景的计算与证明
5．如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5. (1)求DB的长．
(2)在△ABC中，求BC边上高的长．
(第5题图)
(第5题图解)
3
解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5， ∴BD＝5－4＝3.
(2)延长CB，过点A作AE⊥CB延长线于点E. ∵DB⊥BC，AE⊥BC， ∴AE∥DB.
∵D为AC边的中点， 1
∴BD＝AE，
2
∴AE＝6，即BC边上高的长为6.
2
2
(第6题图)
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B.求证：CD⊥AB. 解：∵∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°. ∵∠ACD＝∠B，
∴∠A＋∠ACD＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∴CD⊥AB.
(第7题图)
7．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC，交AB于E.若AB＝5，求线段DE的长．
解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE， ∴∠BAD＝∠ADE， ∴AE＝DE. ∵AD⊥DB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EAD＋∠ABD＝90°，∠ADE＋∠BDE＝∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝∠BDE， ∴DE＝BE. ∵AB＝5，
1
∴DE＝BE＝AE＝AB＝2.5.
2
4
(第8题图)
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD，CE分别是AB边上的中线和高． (1)求证：AE＝ED.
(2)若AC＝2，求△CDE的周长．
解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线， ∴CD＝AD＝DB. ∵∠B＝30°， ∴∠A＝60°.
∴△ACD是等边三角形． ∵CE是斜边AB上的高， ∴AE＝ED.
(2)由(1)，得AC＝CD＝AD＝2ED， 又∵AC＝2， ∴CD＝2，ED＝1.
∴CE＝22
－1＝3.
∴△CDE的周长＝CD＋ED＋CE＝2＋1＋3＝3＋3.
9．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB. (1)求∠B的度数．
(2)求证：CE是AB边上的中线，且CE＝1
2
AB.
(第9题图)
解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，则∠BCD＝60°， 又∵CD为高，
∴∠B＝90°－60°＝30°.
(2)证明：由(1)知，∠B＝∠BCE＝30°，则CE＝BE，AC＝1
2AB.
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠A＝60°.
又∵由(1)知，∠ACD＝∠DCE＝30°， ∴∠ACE＝∠A＝60°， ∴△ACE是等边三角形， ∴AC＝AE＝EC＝1
2
AB，
∴AE＝BE，即点E是AB的中点．
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中考数学总复习 专题提升八 以特殊三角形为背景的计算与证明(含答案)
