与总情况数之比.
24. ( 8分)(2014年陕西省)如图，O O的半径为4, B是O O外一点，连接 OB，且OB=6 , 过点B作O O的切线BD，切点为D，延长BO交O O于点A，过点A作切线BD的垂线， 垂足为C. (1) 求证：AD平分/ BAC ; (2 )求AC的长.
考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质.
分析：
(1 )首先连接 OD，由BD是O O的切线，AC丄BD，易证得OD// AC ,继而可证得AD平分/ BAC ;
(2 )由OD // AC,易证得△ BOD BAC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得
的长. 解答：
(1)证明：连接OD,
?/ BD是O O的切线， ???OD 丄 BD , ?/ AC 丄 BD , ? OD // AC ,
???/ 2= / 3,
?/ OA=OD , ???/ 仁/ 3, ???/ 1 = / 2 , 即AD平分/ BAC ; (2) 解：T OD // AC , ???△ BODBAC , .… 丁 I
…「
I，
90
解得：AC=_ .
3
AC
点评：此题考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质. 助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.
2
此题难度适中，注意掌握辅
25. (10分)(2014年陕西省)已知抛物线 C: y= - x +bx+c经过A (- 3, 0)和B (0, 3) 两点，将这条抛物线的顶点记为 (1 )求抛物线C的表达式； (2) 求点M的坐标；
(3) 将抛物线C平移到C',抛物线C的顶点记为 M',它的对称轴与x轴的交点记为 N'.如 果以点M、N、M'、N'为顶点的四边形是面积为 16的平行四边形，那么应将抛物线 C怎样 平移？为什么？ 分析： (1)直接把A (- 3, 0)和B (0, 3)两点代入抛物线 y= - x2+bx+c，求出b, c 的值即可； (2)根据(1)中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；
(3 )根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示.需要分类讨论.
2
M,它的对称轴与x轴的交点记为 N .
解答： 解：(1)：抛物线y= - x +bx+c经过A (- 3, 0)和B (0, 3)两点，
f - 9- 3b+c=0
?-
(b=- 2
,
，解得，
故此抛物线的解析式为： y= - X2 - 2x+3 ；
(2)???由(1)知抛物线的解析式为： y= - x2- 2x+3 , .?.当 x=- =
-2
? M (- 1, 4).
2a 2X ( -1)
=-1 时, y=4,
(3 )由题意，以点 M、N、M、N为顶点的平行四边形的边 MN的对边只能是 M、、
? MN // M N 且 MN=M N ? MN ?NN '=16, ? NN =4.
i） 当M、N、M '、N为顶点的平行四边形是 ？MNN M时，将抛物线 C向左或向右平移 4个 单位可得符合条件的抛物线 C';
ii） 当M、N、M'、N为顶点的平行四边形是 ？MNM N时，将抛物线 C先向左或向右平移 4 个单位，再向下平移 8个单位，可得符合条件的抛物线 上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线 识点?第（3）问需要分类讨论，避免漏解. 26. （12分）（2014年陕西省）问题探究
（1） 如图①，在矩形ABCD中，AB=3 , BC=4，如果BC边上存在点 卩，使厶APD为等腰 三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形
△ APD，并求出此时BP的长；
（2） 如图 ②，在△ ABC中，/ ABC=60 ° BC=12 , AD是BC边上的高，E、F分别为边 AB、AC的中点，当 AD=6时，BC边上存在一点 Q,使/ EQF=90 °求此时BQ的长； 问题解决 （3）有一山庄，它的平面图为如图 ③ 的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段 CD上选 一点M安装监控装置，用来监视边 AB，现只要使/ AMB大约为60°就可以让监控装置 的效果达到最佳，已知/ A= / E=Z D=90 ° AB=270m , AE=400m , ED=285m , CD=340m , 问在线段CD上是否存在点 M,使/ AMB=60 °若存在，请求出符合条件的 DM的长，若 不存在，请说明理由.
C
C '.
点评：本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象 与性质等知
图②
图③
等边三角形的性质； 勾股定理；三角形中
考点： 圆的综合题；全等三角形的判定与性质；
位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系； 特殊角的三角函数值.
专题： 压轴题；存在型.
分析： (1)由于△ PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、 矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题. (2)
三角函数值等知识即可求出
以EF为直径作O 0,易证BQ长.
O O与BC相切，从而得到符合条件的点 Q唯一，然后通过 添加辅助线，借助于正方形、特殊角的(3) 要满足/ AMB=60 °可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段 CD的交 点就是满足条件的点， 然后借助于等边三角形的性质、 特殊角的三角函数值等知识， 就可算 出符合条件的DM长.
解答： 解：(1)①作AD的垂直平分线交 BC于点P,如图①， 贝U PA=PD.
???△ PAD是等腰三角形. ???四边形ABCD是矩形，
? AB=DC，/ B= / C=90 °
?/ PA=PD , AB=DC ,
? Rt △ ABP 也 Rt△ DCP (HL ). ? BP=CP.
?/ BC=4 ,
? BP=CP=2.
② 以点D为圆心，AD为半径画弧，交 BC于点P',如图①,. 贝U DA=DP
? △ PAD是等腰三角形.
???四边形ABCD是矩形，
? AD=BC , AB=DC，/ C=90 °
?/ AB=3 , BC=4 ,
? DC=3 , DP =4 . ?
CP=—=匸
? BP =4 - _.
③ 点A为圆心，AD为半径画弧，交 BC于点P〃，如图①， 贝U AD=AP 〃.
? △ P〃AD是等腰三角形.
同理可得：BP .
综上所述：在等腰三角形 △ ADP中， 若 PA=PD，则 BP=2 ; 若 DP=DA，贝U BP=4 - 若 AP=AD，贝U BP=匸.
(2)T E、F分别为边AB、AC的中点，
;
? EF // BC, EF=^BC .
2
?/ BC=12 ,
? EF=6.
以EF为直径作O 0,过点0作0Q丄BC,垂足为Q,连接EQ、FQ,如图②. ?/ AD 丄 BC , AD=6 , ??? EF与BC之间的距离为 3. ???0Q=3
? 0Q=0E=3 .
???O O与BC相切，切点为Q. ?/ EF为O O的直径，
???/ EQF=90 °
过点E作EG丄BC,垂足为G,如图②. ?/ EG 丄 BC , OQ 丄 BC,
? EG // OQ .
?/ EO // GQ , EG / OQ,/ EGQ=90 ° OE=OQ , ?四边形OEGQ是正方形.
? GQ=EO=3 , EG=OQ=3 .
?// B=60 ° / EGB=90 ° EG=3 ,
? BG= 7.
? - BQ=GQ+BG=3+ 冷
?当/ EQF=90。时，BQ 的长为 3+ 7.
(3)在线段 CD上存在点 M，使/ AMB=60 ° 理由如下：
以AB为边，在AB的右侧作等边三角形 ABG , 作GP丄AB，垂足为 P,作AK丄BG,垂足为 K . 设GP与AK交于点O,以点O为圆心，OA为半径作O O, 过点O作OH丄CD，垂足为H，如图③.
则O O是厶ABG的外接圆，
?/△ ABG是等边三角形， GP丄AB , AP=PB=—AB .
2
?/ AB=270 ,
? AP=135.
?/ ED=285 ,
? OH=285 - 135=150.
?/△ ABG是等边三角形， AK丄BG ,
? / BAK= / GAK=30 ° ? OP=AP ?tan30°
=135 X- ■'
_3
=45
_
? OA=2OP=9O :. ? OH V OA .
?O O与CD相交，设交点为 M，连接』A、MB，如图③. ? / AMB= / AGB=60 ° OM=OA=9O 丽..
?「OH 丄 CD , OH=150 , OM=90 二，
2014年陕西省中考数学试卷及答案解析
