49所以(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+24=. 2525因为sin αcos α=-12<0且0<α<π, 25所以sin α>0,cos α<0, 所以sin α-cos α>0. 所以sin α-cos α=7. 51?sin??cos??,??5由?
7?sin??cos??,?5?4?
sin??,?5 解得??
?cos???3,?5?
所以tan α=-4. 3②cos2?1?sin2?sin2??cos2?=cos2??sin2?tan2??1=1?tan2?.
因为tan α=-4, 3所以cos2?1?sin2?4(?)2?1=34 1?(?)23tan2??1=1?tan2?
=-25. 7 (1)利用和积互换公式时,要注意依据和、差、积的值对角的范围进行
确定,必要时要与特殊值比较,进一步优化缩小角的范围.
(2)若某一三角函数值中含有参数,要讨论值的正负,否则会漏根或增根. (3)对于含有sin α,cos α的齐次式,可根据1的代换化为齐次分式,通过除以某一齐次项,转化为只含有正切的式子,即化弦为切、整体代入.
1.(2019·金华模拟)已知sin α+cos α=2,则
?tan α+cos的值为( D ) sin?(A)-1 (B)-2 (C)1 (D)2 2解析:因为sin α+cos α=所以(sin α+cos α)2=2, 所以sin αcos α=1. 2?sin?cos?1所以tan α+cos=+==2.故选D. sin?cos?sin?sin?cos?π2.已知sin θ+cos θ=4,θ∈(0,),则sin θ-cos θ的值为 . 342, 解析:因为(sin θ+cos θ)2=sin2θ+cos2θ+2sin θ·cos θ =1+2sin θcos θ =16, 9所以2sin θcos θ=7, 9则(sin θ-cos θ)2=sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ =1-7 92=9.
又因为θ∈(0,π),所以sin θ 考点二 三角函数的诱导公式 [例2] (1)已知cos α是方程3x2-x-2=0的根,且α是第三象限角,则 sin(???3π3π)cos(??)tan2(π??)22等于( ππcos(??)sin(??)22 ) 995(A)16 (B)-16 (C)-5 (D) 44(2)在△ABC中,若sin(2π-A)=-的三个内角. 2sin(π-B),3cos A=-2cos(π-B),求△ABC (1)解析:方程3x2-x-2=0的根为x1=1,x2=-2, 3由题知cos α=-2, 3所以sin α=-53,tan α=52. ?cos?sin?tan2?所以原式=?sin?cos?=tan2α=5.故选D. 42sinB,①sinA?(2)解:由已知得?????3cosA?2cosB,② ①2+②2得sin2A+3cos2A=2, 所以1-cos2A+3cos2 A=2, 所以2cos2A=1, 即cos A=当cos A=2222或cos A=-时,cos B=2232. , 又A,B是三角形的内角, π所以A=π,B=, 467所以C=π-(A+B)=12π. 当cos A=-22时,cos B=-32, 又A,B是三角形的内角, 5所以A=3π,B=π,不合题意. 46π7综上可知,A=π,B=,C=π. 4612利用诱导公式化简三角函数的思路和要求 (1)思路方法:①分析结构特点,选择恰当公式;②利用公式化成“单角”三角函数;③整理得最简形式. (2)化简要求:①化简过程是恒等变形;②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值. (3)求角时,通常是先求出该角的某一个三角函数值,再结合其范围,确定该角的大小. 1.已知cos(π6-θ)=a,则cos(5π2π6+θ)+sin(3-θ)的值是 . 解析:因为cos(5π6+θ)=-cos[π-(5π6+θ)]=-a, sin(2π-θ)=sin[ππ32+(6-θ)] =cos(π6-θ) =a, 所以cos(5π6+θ)+sin(2π3-θ)=-a+a=0. 答案:0 2.在△ABC中,求cos2A?B2C2+cos2的值. 解:在△ABC中,A+B=π-C, 所以A?BπC2=2-2, 所以cosA?B2=cos(πCC2-2)=sin2, 所以cos2A?B2C2C2C2+cos2=sin2+cos2=1. 考点三 三角函数的求值 [例3] (1)已知cos(π36-α)=,则cos(5236π+α)-sin(α-π6)的值是( (A)2?333 (B)-2?3 (C)2?333 (D)?2?3 (2)1?2sin40?cos40?cos40??1?sin250?= . 解析:(1)因为cos(56π+α)=cos[π-(π6-α)] =-cos(π6-α) =-33, ) 2π12而sin2(α-π)=1-cos(α-)=1-=, 6633所以原式=-故选B. (2)原式=332?3-2=-. 33sin240??cos240??2sin40?cos40?cos40??cos50?? 40??cos40?=sin sin50??sin4040??sin50?=sin sin50??sin40?sin50??sin40?=sin50??sin40? =1. 答案:(1)B (2)1 (1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化 为锐角的三角函数值求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用. (2)对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名出错. 44 1.若tan α=1,则sinα-cosα的值为 . 2解析:因为tan α=1, 2所以sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)·(sin2α-cos2α) sin2??cos2?=cos2??sin2?tan2??13=1?tan2?=-5. 3答案:-5 π2.(2018·绍兴一中适应性考试)已知sin α=1+cos α,且α∈(0,),则22cos2?的值为 πsin(??)4 .
第二节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式(知识梳理)
