第二节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
复习目标 1.同角三角函数的两个基本关系. 2.三角函数的诱导公式 1.在高考中,常给出角α的一个三角函数值,求其他异名(1)π+α与α的正的三角函数值,解题的关键就是灵活地掌握同角三角函数弦、余弦、正切值的的基本关系的正用、逆用及变形应用. 关系. 2.诱导公式的基本作用在于将任意角的三角函数转化为(2)-α与α的正弦、余弦、正切值的关系. 3.求值问题是三角公式的主要应用,求解时首先根据题目(3)π-α与α的正特点选择公式类型,再正确应用. 弦、余弦、正切值的关系. (4)π±α与α的正2弦、余弦值的关系. [0,π]内的三角函数,其解题思路是化负角为正角,化复2杂角为简单角. 学法指导
一、同角三角函数的基本关系式 1.平方关系
sin2α+cos2α=1. 2.商数关系
sin?tan α=cos. ?
1.公式理解
sin?(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用cos=tan α可?以实现弦切互化.
(2)只要是同一个角,基本关系式就成立,不要拘泥于角的形式,如
2?sin3xsin2?+cos=1,=tan 3x都成立. 22cos3x2.与公式应用相关的结论
(1)1的代换:1=sin2α+cos2α=cos2α(1+tan2α)=tanπ. 4(2)弦切互化法:弦切共存的代数式往往利用公式把切化为弦.
(3)和积转换法:因为(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,所以对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子可以知一求二,但要注意角的范围. 二、诱导公式 组序 角 α(k∈Z) 正弦 余弦 正切 口诀 sin α cos α tan α -sin α -cos α tan α -sin α cos α -tan α sin α -cos α -tan α 一 2kπ+ π+α -α π-α 二 三 四 π2五 -α π2六 +α cos α sin α cos α -sin α 函数名不变 函数名改变 符号看象限 记忆 奇变偶不变,符号看象限 规律
1.公式理解
符号看象限 诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限,“奇”“偶”指的是“k·π+α”
2中的整数k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数名称的变化,若k是奇数,则正、余弦互变,若k为偶数,则函数名称不变.“符号看象限”指的是在
π“k·π+α”中,将α看成锐角时“k·+α”的终边所在的象限. 222.与诱导公式应用相关的知识
诱导公式在三角形中经常使用,常用的角的变形有:A+B=π-C,2A+2B=2π
BCπA?BC-2C,A++=等,于是可得sin(A+B)=sin C,cos =sin 等. 222222
π1.已知sin(π-α)=log81,且α∈(-,0),则tan(2π-α)的值为( B ) 42(A)-255 (B)255 (C)±255(D)52 2解析:sin(π-α)=sin α=log81=-, 43又α∈(-π,0), 2所以cos α=1?sin2?=53, 25sin?则tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α=-cos=. 5?故选B.
2??3cos?2.已知sin=5,则sinα-sin αcos α的值是( A ) 3cos??sin?22(A)5 (B)-5 (C)-2 (D)2
第二节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式(知识梳理)
