C.[－1，3] D.[－1，0)∪(0，3]
?1?x(2)(2020·济南质检)已知函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝f?x?＋8－2的定义
?2?
域为( ) A.[0，3]
B.[0，2]
2
C.[1，2] D.[1，3]
－x＋2x＋3≥0，??
解析 (1)要使函数有意义，x需满足?x＋1>0，解得－1 ??x＋1≠1，定义域为(－1，0)∪(0，3]. (2)因为f(x)的定义域为[0，2]， 1??0≤x≤2， 所以要使g(x)有意义，x满足?2解得0≤x≤3. ??0≤8－2x，∴g(x)的定义域为[0，3]. 答案 (1)B (2)A 规律方法 1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域. 【训练1】 (1)(2020·华南师大附中月考)已知函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数g(x)＝ f（2x－1） 的定义域是( ) ln（1－x） B.(0，1) 2 A.[0，1] C.[0，1) D.(0，1] (2)函数y＝1－x＋log2(tan x－1)的定义域是________. 解析 (1)由函数f(x)的定义域为[－1，1]， 令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1， 又由1－x>0且1－x≠1，解得x<1且x≠0， 所以函数g(x)的定义域为(0，1). π22 (2)要使函数y＝1－x＋log2(tan x－1)有意义，则1－x≥0，tan x－1>0，且x≠kπ＋2 (k∈Z). ππ ∴－1≤x≤1且＋kπ 42π 可得 4 ?π?则函数的定义域为?，1?. ?4??π?答案 (1)B (2)?，1? ?4? 考点二 求函数的解析式 ?2?【例2】 (1)已知f?＋1?＝lg x，则f(x)＝________； ?x? (2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________； ?1?(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f??·x－1，则f(x)＝________. x?? 22 解析 (1)令t＝＋1(t>1)，则x＝， xt－1∴f(t)＝lg 22，即f(x)＝lg(x>1). t－1x－1 2 (2)设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝2，得c＝2， f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝2ax＋a＋b＝x－1， 1 a＝，??2??2a＝1，13 所以?即?∴f(x)＝x－x＋2. 22?3?a＋b＝－1， b＝－.??2 2 ?1?(3)在f(x)＝2f??·x－1中， ?x? 11 将x换成，则换成x， xx?1?得f??＝2f(x)·?x? ?1? 1 x－1， ??由? ?1?＝2f（x）·f?????x? 答案 (1)lg f（x）＝2f??·x－1， ?x? 1 x－1， 21 解得f(x)＝x＋. 33 212321 (x>1) (2)x－x＋2 (3)x＋ x－12233 规律方法 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法. (2)换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. ?1?(3)构造法：已知关于f(x)与f??或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等x?? 式，通过解方程组求出f(x). 【训练2】 (1)已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝________. (2)若f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，则f(x)＝______. 解析 (1)设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b， ∴2ax＋b＝2x＋2，则a＝1，b＝2. 所以f(x)＝x＋2x＋c＝0，且有两个相等实根. ∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1.故f(x)＝x＋2x＋1. (2)因为2f(x)＋f(－x)＝3x，① 所以将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，② 由①②解得f(x)＝3x. 答案 (1)x＋2x＋1 (2)3x 2 2 2 2 考点三 分段函数 角度1 分段函数求值 多维探究 【例3－1】 (2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)πxcos ，0 1?x＋?，－2 解析 因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区 πxcos ，0 间(－2，2]上，f(x)＝? 1?x＋?，－2 所以f(15)＝f(－1)＝， 2 π2?1?因此f[f(15)]＝f??＝cos ＝. 42?2?答案 2 2 角度2 分段函数与方程、不等式问题 log2x，x≥1，?? 【例3－2】 (1)(2020·郑州联考)已知函数f(x)＝?1则不等式f(x)≤1的解集 ，x<1，??1－x为( ) A.(－∞，2] C.[0，2] x B.(－∞，0]∪(1，2] D.(－∞，0]∪[1，2] ??2，x>0， (2)已知函数f(x)＝?若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为________. ?x＋1，x≤0.? 1 解析 (1)当x≥1时，不等式f(x)≤1为log2x≤1，1≤x≤2；当x<1时，由≤1，得x≤0. 1－x综上，f(x)≤1的解集为{x|x≤0或1≤x≤2}. (2)∵f(1)＝2，且f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－2. 当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3； 当a>0时，f(a)＝2>0，此时，f(a)≠－2. 综上可知a＝－3. 答案 (1)D (2)－3 规律方法 1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解. 2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论. log3（x＋m）－1，x≥0，?? 【训练3】 (1)(角度1)(2020·佛山检测)已知函数f(x)＝?1的图象 ，x<0??2 020经过点(3，0)，则f(f(2))＝( ) aA.2 020 B. 1 2 020 C.2 D.1 ??x＋1，x≤0， (2)(角度2)(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝?x ?2，x>0，? ?1?则满足f(x)＋f?x－?>1的x的取值范围是______. ?2? ??（1－2a）x＋3a，x<1， (3)(角度2)已知函数f(x)＝?x－1的值域为R，则实数 ?2，x≥1? a的取值范围是 ________. 解析 (1)因为函数f(x)的图象过点(3，0)，所以log3(3＋m)－1＝0，解得m＝0. 所以f(2)＝log32－1<0，故f(f(2))＝ 1 . 2 020 ?1??1?(2)当x≤0时，f(x)＋f?x－?＝(x＋1)＋?x－＋1?， ?2??2? 31 原不等式化为2x＋>1，解得－ 241?1?x?1?当0 2?2??2?1x原不等式化为2＋x＋>1，该不等式恒成立， 2 1 1?1?xx－ 当x>时，f(x)＋f?x－?＝2＋22， 2?2? 1 1 x－2 1x又x>时，2＋2 2 >22＋2＝1＋2>1恒成立， 0 ?1?综上可知，不等式的解集为?－，＋∞?. ?4? (3)当x≥1时，f(x)＝2 x－1 ≥1， ?（1－2a）x＋3a，x<1，? ∵函数f(x)＝?x－1的值域为R， ?2，x≥1? ??1－2a>0，1 ∴当x<1时，(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则?解得0≤a<. 2?1－2a＋3a≥1，? ?1??1?答案 (1)B (2)?－，＋∞? (3)?0，? ?4??2?
2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第1节函数及其表示教学案含解析新人教A版
