第1节 函数及其表示
考试要求 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).
知 识 梳 理
1.函数与映射的概念
两个集合 函数 设A，B是两个非空数集 映射 设A，B是两个非空集合 A，B 如果按照某种确定的对应关系f，使如果按某一个确定的对应关系f，使对对应关系 对于集合A中的任意一个数x，在集于集合A中的任意一个元素x，在集合合B中都有唯一确定的数f(x)和它f：A→B B中都有唯一确定的元素y与之对应 对应 称f：A→B为从集合A到集合B的一名称 个函数 记法 函数y＝f(x)，x∈A 映射 映射：f：A→B 称f：A→B为从集合A到集合B的一个2.函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. [常用结论与微点提醒]
1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.
2.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点. 3.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致. 4.注意以下几个特殊函数的定义域 (1)分式型函数，分母不为零的实数集合. (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. (4)若f(x)＝x，则定义域为{x|x≠0}.
??π
(5)正切函数y＝tan x的定义域为?x|x≠kπ＋，k∈Z?.
2??
0
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝1与y＝x是同一个函数.( ) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( ) (3)f(x)＝x－3＋2－x是一个函数.( )
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )
解析 (1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.
(2)错误.值域C?B，不一定有C＝B. (3)错误.f(x)＝x－3＋2－x中x不存在.
(4)错误.若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相等函数. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
0
0
2.(老教材必修1P25B2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析 A中函数定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0，2]. 答案 B
3.(新教材必修第一册P66例3改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( ) A.y＝(x＋1)
2
2
B.y＝x＋1 D.y＝x＋1
23
3
x2
C.y＝＋1
x解析 对于A，函数y＝(x＋1)的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不
x2
是相等函数；对于B，定义域和对应关系分别相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定
x义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域x∈R不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数. 答案 B
??x－2x，x>0，
4.(2020·厦门质检)已知函数f(x)＝?x则f(f(1))＝( )
?2，x≤0，?
2
A.0
1
B. 2
C.1 D.2
12－1
解析 由题意，知f(1)＝1－2×1＝－1，所以f(f(1))＝f(－1)＝2＝.
2答案 B
5.(2020·九江联考)函数f(x)＝
1－ln x的定义域是________. x2－2
?1－ln x≥0，?
解析 依题意，得?x解得0 ?2－2≠0，? 答案 (0，1)∪(1，e] 6.已知函数f(x)满足f(x)＋2f(－x)＝e，则函数f(x)的解析式为________________. 解析 因为f(x)＋2f(－x)＝e，① 所以将x用－x替换，得f(－x)＋2f(x)＝e，② ①②联立消去f(－x)得3f(x)＝2e－e， 2－x1x∴f(x)＝e－e. 332－x1x答案 f(x)＝e－e 33 －x－xxxx 考点一 求函数的定义域 －x＋2x＋3 【例1】 (1)(2020·安徽江南十校期末检测)函数y＝的定义域为( ) lg（x＋1）A.(－1，3] B.(－1，0)∪(0，3] 2
2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第1节函数及其表示教学案含解析新人教A版
