2010年上海市初中毕业统一学业考试数学卷 （满分150分，考试时间100分钟） 2010-6-20 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1.下列实数中，是无理数的为（ C ）
1
A. 3.14 B. C. 3 D. 9
3
【解析】无理数即为无限不循环小数，则选C。
k
2.在平面直角坐标系中，反比例函数 y = ( k＜0 ) 图像的两支分别在（B ）
x
A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限
11【解析】设K=-1，则x=2时，y=?，点在第四象限；当x=-2时，y= ，在第二象限，所以图像过第二、四
22象限，即使选B
3.已知一元二次方程 x2 + x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（ B ）
A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定
【解析】根据二次方程的根的判别式：??b2?4ac??1??4?1???1??5?0，所以方程有两个不相等的实数根，所以选B
4.某市五月份连续五天的日最高气温分别为23、20、20、21、26（单位：°C），这组数据的中位数和众数分别是（ D） A. 22°C，26°C B. 22°C，20°C C. 21°C，26°C D. 21°C，20°C
【解析】中位数定义：将所有数学按从小到大顺序排列后，当数字个数为奇数时即中间那个数为中位数，当数字的个数为偶数时即中间那两个数的平均数为中位数。 众数：出现次数最多的数字即为众数 所以选择D。
5.下列命题中，是真命题的为（ D ）
A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似
【解析】两个相似三角形的要求是对应角相等，A、B、C中的类型三角形都不能保证两个三角形对应角相等，即选D。
6.已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1 = 3，则圆O1与圆O2的位置关系是（ A ）
A.相交或相切 B.相切或相离 C.相交或内含 D.相切或内含 【解析】如图所示，所以选择A
二、填空题（本大题共12题，每
O1AO1A2AO1AO1
题4分，满分48分）
7.计算：a 3 ÷ a 2 = ___a____. 【解析】a3?a2?a3?2?a1?a
8.计算：( x + 1 ) ( x ─ 1 ) = ____x2-1________. 【解析】根据平方差公式得：( x + 1 ) ( x ─ 1 ) = x2-1_ 9.分解因式：a 2 ─ a b = _____a(a-b)_________. 【解析】提取公因式a，得：a2?ab?a?a?b? 10.不等式 3 x ─ 2 ＞ 0 的解集是____x>2/3___. 【解析】
3x?2?03x?22x?311.方程 x + 6 = x 的根是______x=3______. 【解析】由题意得：x>0
两边平方得：x?6?x2，解之得x=3或x=-2（舍去）
1
12.已知函数 f ( x ) = 2 ，那么f ( ─ 1 ) = ______1/2_____.
x + 1
111??【解析】把x=-1代入函数解析式得：f??1??2 x?1??1?2?1213.将直线 y = 2 x ─ 4 向上平移5个单位后，所得直线的表达式是____y=2x+1__________.
【解析】直线y = 2 x ─ 4与y轴的交点坐标为（0，-4），则向上平移5个单位后交点坐标为（0,1），则所得直线方程为y = 2 x +1
14.若将分别写有“生活”、“城市”的2张卡片，随机放入“ 让 更美好”中的两个 内（每个 只放1张卡片），则其中的文字恰好组成“城市让生活更美好”的概率是____1/2______
【解析】“生活”、“城市”放入后有两种可能性，即为：生活让城市更美好、城市让生活更美好。 则组成“城市让生活更美好”的可能性占所有可能性的1/2。
15.如图1，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O 设向量 AD =a， =b，则向量 AB
1AO?(a?b).（结果用a、b表示）
21【解析】AD?BC?a，则AC?AB?BC=b?a?2AO，所以AO=b?a
2?? A
ADOCADD160E图1
BB图2
CO1图3
2B图4
C16.如图2，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD =∠ABC，若AC = 2，AD = 1，则DB = __3________.
ACAD【解析】由于∠ACD =∠ABC，∠BAC =∠CAD,所以△ADC∽△ACB，即：,所以AB?AD?AC2，则AB=4,?ABAC所以BD=AB-AD=3
17.一辆汽车在行驶过程中，路程 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系如图3所示 当时 0≤x≤1，y关于x
的函数解析式为 y = 60 x，那么当 1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为_____y=100x-40___.
【解析】在0≤x≤1时，把x=1代入y = 60 x，则y=60，那么当 1≤x≤2时由两点坐标（1,60）与（2,160）得当1≤x≤2时的函数解析式为y=100x-40
18.已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1（如图4所示） 把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为__1或5_________. 【解析】题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC上的点”，所以有两种情况如图所示： 顺时针旋转得到F1点，则F1C=1
逆时针旋转得到F2点，则F2B?DE?2,F2C?F2B?BC?5
三、解答题（本大题共7题，19 ~ 22题每题10分，23、
24题每题12分，25题14分，满分78分）
11419.计算：273?(3?1)2?()?1?
23?1解：原式?27?3ADEF2BF1C??321?23?1??124?3?1???3?1??3?1
?3?3?23?1?2?43?4??32?12 ?5?23?23?2?3x2 x ─ 2
20.解方程： ─ ─ 1 = 0
x ─ 1x
解：x?x??2x?2??x?1??1?x??x?1??0
x2?2?x?1??x?x?1??0
2NA北x2?2?x2?2x?1??x2?x?0
?2x2?4x?2?x?0
2x2?5x?2?0
67.4?OBS南C?2x?1??x?2??0
1图5
∴x?或x?2
2代入检验得符合要求
21.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图5所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上.（1）求弦BC的长；（2）求圆O的半径长.
（本题参考数据：sin 67.4° =
12512
，cos 67.4° = ，tan 67.4° = ） 13135
5（1）解：过点O作OD⊥AB，则∠AOD+∠AON=900,即：sin∠AOD=cos∠AON= 13512
即：AD=AO× =5,OD=AO×sin 67.4° =AO× =12 1313
又沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处 所以AB∥NS,AB⊥BC,所以E点位BC的中点，且BE=DO=12 所以BC=24
（2）解：连接OB，则OE=BD=AB-AD=14-5=9
又在RT△BOE中，BE=12, 所以BO?OE?BE?9?12?225?15
2222NADOEBSC 即圆O的半径长为15 人数（万人） 22.某环保小组为了解世博园的游客在园区内购买瓶装饮料
3数量的情况，一天，他们分别在A、B、C三个出口处， 2.5对离开园区的游客进行调查，其中在A出口调查所得的 21.5数据整理后绘成图6.
1（1）在A出口的被调查游客中，购买2瓶及2瓶以上饮料
的游客人数占A出口的被调查游客人数的___60____%.
（2）试问A出口的被调查游客在园区内人均购买了多少瓶饮料？ 01234饮料数量（瓶）
图6 （3）已知B、C两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料
的数量如表一所示 若C出口的被调查人数比B出口的被 调查人数多2万，且B、C两个出口的被调查游客在园区 出 口 B C 内共购买了49万瓶饮料，试问B出口的被调查游客人数 人均购买饮料数量（瓶） 3 2 为多少万？ 表 一 9万 解：（1）由图6知，购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数为2.5+2+1.5=6（万人） 而总人数为：1+3+2.5+2+1.5=10（万人）
6?100%?60% 10（2）购买饮料总数位：3×1+2.5×2+2×3+1.5×4=3+5+6+6=20（万瓶） 所以购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的人均购买=
购买饮料总数20万瓶??2瓶
总人数10万人（3）设B出口人数为x万人，则C出口人数为（x+2）万人
则有3x+2(x+2)=49 解之得x=9
所以设B出口游客人数为9万人
23．已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD（如图7所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE. （1）在图7中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形； （2）∠ABC＝60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC.
（1）解：分别以点B、D为圆心，以大于AB的长度为半径，分别作弧，且两弧交于一点P，则连接AP，即AP即为∠BAD的平分线，且AP交BC于点E， ∵AB=AD，∴△ABO≌△AOD ∴BO=OD ∵AD//BC, ∴∠OBE=∠ODA, ∠OAD=OEB ∴△BOE≌△DOA
∴BE=AD（平行且相等）
∴四边形ABDE为平行四边形，另AB=AD， ∴四边形ADBE为菱形
（2）设DE=2a,则CE=4a，过点D作DF⊥BC
∵∠ABC＝60°，∴∠DEF=60°, ∴∠EDF=30°, ∴EF=∴CD?DF2?CF2?3a2?9a2?23a ∴DE=2a，EC=4a,CD=23a,构成一组勾股数，
1DE=a，则DF=3a，CF=CE-EF=4a-a=3a， 2AOD∴△EDC为直角三角形，则ED⊥DC
B EFC24．如图8，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3) .
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y
轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.
（1）解：将A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得：
2???4?4b?c?0 ?2?1?b?c?3??解之得：b=4，c=0
所以抛物线的表达式为：y??x2?4x
将抛物线的表达式配方得：y??x2?4x???x?2??4
图8
2所以对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4）
（2）点p（m，n）关于直线x=2的对称点坐标为点E（4-m，n），则点E关于y轴对称点为点F坐标为（4-m,-n）， 则四边形OAPF可以分为：三角形OFA与三角形OAP，则
SOFAP?S?OFA?S?OPA= S?OFA??OA?n+
12S?OPA?1?OA?n= 4n=20 2所以n=5，因为点P为第四象限的点，所以n<0，所以n= -5
代入抛物线方程得m=5
25．如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE
并延长，与线段BC的延长线交于点P.
（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长； （2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值； （3）若tan?BPD?
1，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式. 3
2010上海市中考数学试卷及答案解析
