设∠PCQ=∠QCG=a ，∠BAH=∠HAP=b， ∵QM∥AB，∠BAQ=180° ∴∠BAQ=∠AQM=180° 又∵AB//CD， ∴MQ//CD， ∴∠CQM=180° ∴∠AQC=（180° ∵∠DCP=180° ∴2b+180° ∴a
b=45° ∴∠AQC=45°
【解析】【分析】（1）过P作PQ∥AB，根据平行线的判定定理得出 PQ//CD ，由平行线的性质，得到∠BAP=∠APQ，∠DCP=∠CPQ，结合AP⊥PC，即可得到答案；
（2）过Q作QM∥AB，由平行线的性质和角平分线的性质，得到角度之间的关系，即可得到答案.
a b）
（180°
a）=a
b
b
又∵由（1）得∴∠BAP+∠DCP=90°
2a ，∠BAP=2b 2a=90°
13．如图，在△ ABC中，∠ ABC、∠ ACB的平分线交于点O．
（1）若∠ABC=40°，∠ ACB=50°，则∠BOC=________ （2）若∠ABC+∠ ACB=lO0°，则∠BOC=\ （3）若∠A=70°，则∠BOC=________ （4）若∠BOC=140°，则∠A=________
（5）你能发现∠ BOC与∠ A之间有什么数量关系吗?写出并说明理由． 【答案】 （1）135° （2）130° （3）125° （4）100°
（5）解：BO平分∠ABC, CO平分∠ABC ∴∠OBC=0.5∠ABC ∠OCB=0.5∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=0.5∠ABC+0.5∠ACB=
0.5（180-∠A）=90-0.5∠A
∴∠O=180-（∠OBC+∠OCB）=180-（90-0.5∠A）=90°+0.5∠A
【解析】【解答】解：（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=50°，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O．
∴∠OBC= ∠ABC=20°，∠OCB= ∠ACB=25°， ∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-20°-25°=135°，
故答案是：135°；
（ 2 ）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O． ∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=50°， ∴∠BOC=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°-50°=130°， 故答案是130°．
（ 3 ）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O． ∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=55°， ∴∠BOC=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°-55°=125°， 故答案是125°； （ 4 ）∵∠BOC=140°， ∴∠OBC+OCB=40°，
∵∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB， ∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+OCB）=80°， ∴∠A=100°， 故答案是：100°；
【分析】根据角平分线的性质以及三角形内角和定理得出∠OBC和∠OCB与∠A之间的关系，然后根据△BOC的内角和定理得出∠BOC与∠A的关系.
14．如图所示，O为一个模拟钟面圆心，M、O、N 在一条直线上，指针 OA、OB 分别从 OM、ON 出发绕点 O 转动，OA 运动速度为每秒 30 ，OB 运动速度为每秒10 ，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为 t 秒，试解决下列问题：
（1）如图①，若OA顺时针转动，OB逆时针转动， =________秒时，OA与OB第一次
重合；
（2）如图②，若OA、OB同时顺时针转动， ①当 =3秒时，∠AOB=________ ；
②当 为何值时，三条射线OA、OB、ON其中一条射线是另两条射线夹角的角平分线？________ 【答案】 （1）4.5 （2）
；解：由题意知
，
∴∠BON＝10t ，∠AON＝180－30t (0≤t≤6)，∠AON＝30t－180(6 当OA为∠BON的角平分线时， 10t ＝2(30t －180)， 解得：t ＝7.2； 当OB为∠AON的角平分线时， 30t －180＝2×10t ， 解得：t ＝18（舍去）； ∴经过4.5，7.2秒时，射线OA、OB、ON其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线 【解析】【解答】（1）解：若OA顺时针转动，OB逆时针转动， ∴∠AOM+∠BON=180 , ∴ 解得： ∴ 故答案为：4.5 2）解：①若OA、OB同时顺时针转动， ∴ ∴ 故答案为：120； 【分析】（1）设t秒后第一次重合．根据题意，列出方程，解方程即可；（2）①利用180 减去OA转动的角度，加上OB转动的角度，即可得到答案； ②先用t的代数式表示∠BON和∠AON，然后分为三种情况进行讨论：当ON、OA、OB为角平分线时，分别求出t的值，即可得到答案. ， ； ， ； 秒，OA与OB第一次重合； ， 15．我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离。而|5|=|5-0|，即|5-0|表示5和0在数轴上对应的两点之间的距离。类似的，有：|5-3|表示5和3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5和-3在数轴上对应的两点之间的距离。一般地，点A、B在数轴上分别表示数a和b，那么点A和B之间的距离可表示为|a-b|。 利用以上知识： （1）求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|的最小值=________。 （2）求代数式|x-1|+| x-1|+| x-3|+| x-4|的最小值。 【答案】 （1）2500 （2）解：1、1……2、2……9、9……16、16， 则最中间的一个数是2， ∴当x=2, |x-1|+| x-1|+| x-3|+ |x-4| =|x-1|+ |x-2|+ |x-9|+ |x-16| = (12|2-1|+6|2-2|+4|2-9|+3|2-16)| = = . 【解析】【解答】解：(1) 由题意得： |x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|的最小值为： |50.5-1|+|50.5-2|+|50.5-3|+…+|50.5-100|=2500. 【分析】（1）由于 |x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|表示数轴上某点到1、2、3……100的距离之和，因此当x所对应的点在点1和点100最中间时取最小值，这时把x=50.5代入原式求值即可. (2)先提取将每个绝对值的系数变为整数，然后将12个1，6个2，4个9和3个16排成一组数，则最中间的一个数是2，则把2代入原式求值即是最小值.
数学七年级上册 期末试卷中考真题汇编[解析版]
