内旋转时，求 （3）在
的条件下，若
的大小；
，当
和
在
内绕着点O以
秒的速度
逆时针旋转t秒时， 求t的值 【答案】 （1）78°
中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，
（2）解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠COM ∠BOD，∴∠MON=∠BON+∠COM﹣∠BOC （∠AOC+∠BOD）﹣24°，∴∠MON
∠AOC
∠AOC，∠BON ∠BOD﹣24° 180°﹣24°=66°.
（∠AOD+∠BOC）﹣24°
（3）解：∵∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOC=54°+2t，∠AOM=27+t，∠BOD=126﹣2t，∠DON=63﹣t. 若∠AOM=2∠DON时，即27+t=2（63﹣t），∴t=33； 若2∠AOM=∠DON，即2（27+t）=63﹣t，∴t=3.
综上所述：当t=3或t=33时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍.
【解析】【解答】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠BOM ∠BON
∠BON.
∠AOD，∴∠MON=78°.
∠AOB，
∵∠MON=∠BOM+∠BON 故答案为：78°.
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠BOM＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，然后根据∠MON=∠BOM+∠BON=∠AOD即可求解； （2）由角平分线的定义可得∠COM＝
∠AOC，∠BON＝
∠BOD，
∠MON=∠BON+∠COM-∠BOC=∠AOC+∠BOD﹣24°=（∠AOC+∠BOD）﹣24°=（∠AOD+∠BOC） ﹣24°可求解 ；
（3）由题意可得∠AOC＝54°＋2t，∠AOM＝27＋t，∠BOD＝126?2t，∠DON＝63?t，分∠AOM＝2∠DON，∠DON＝2∠AOM两种情况讨论，列方程即可求解．
6．【探索新知】
如图1，射线OC在∠AOB内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“二倍线”. （1）一个角的角平分线________这个角的“二倍线”.（填是或不是）
（2）【运用新知】如图2，若∠AOB=120°，射线OM绕从射线OB的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒10°的速度向射线OA旋转，当射线OM到达射线OA的位置时停止旋转，设射线OM旋转的时间为t（s），若射线OM是∠AOB的“二倍线”，求t的值. （3）【深入研究】在（2）的条件下.同时射线ON从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒5°的速度向射线OB旋转，当射线OM停止旋转时，射线ON也停止旋转.请直接写出当射线OM是∠AON的“二倍线”时t的值. 【答案】 （1）是
（2）解：若∠AOM=2∠BOM时，且∠AOM+∠BOM=120° ∴∠BOM=40° ∴t=
=4，
若∠BOM=2∠AOM，且∠AOM+∠BOM=120° ∴∠BOM=80° ∴t=
=8
若∠AOB=2∠AOM，或∠AOB=2∠BOM， ∴OM平分∠AOB， ∴∠BOM=60° ∴t=
=6
综上所述：当t=4或8或6时，射线OM是∠AOB的“二倍线”.
（3）解：若∠AON=2∠MON，则5t=2×（5t+10t-120） ∴t=9.6
若∠MON=2∠AOM，则5t+10t-120=2×（120-10t） ∴t=
若∠AOM=2∠MON，则120-10t=2×（5t+10t-120） ∴t=9
综上所述：t=9.6或 或9.
【解析】【解答】（1）解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的两倍，
∴一个角的角平分线是 这个角的“二倍线”， 故答案为：是
【分析】（1）由角平分线的定义可得；（2）分三种情况讨论，由“二倍线”的定义，列出方程可求t的值；（3）分三种情况讨论，由“二倍线”的定义，列出方程可求t的值.
7．如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行，灯脚AB始终和桌面FG垂直，
（1）当∠EDC＝∠DCB＝120°时，求∠CBA；
（2）连杆BC、CD可以绕着B、C和D进行旋转，灯头E始终在D左侧，设∠EDC ， ∠DCB ， ∠CBA的度数分别为α，β，γ，请画出示意图，并直接写出示意图中α，β，γ之间的数量关系．
【答案】 （1）解：如图，过C作CP∥DE ， 延长CB交FG于H ，
∵DE∥FG ， ∴PC∥FG ，
∴∠PCD＝180°﹣∠D＝60°，∠PCH＝120°﹣∠PCD＝60°， ∴∠CHA＝∠PCH＝60°，
又∵∠CBA是△ABH的外角，AB⊥FG ， ∴∠CBA＝60°+90°＝150°，
（2）解：如图，过C作CP∥DE ， 延长CB交FG于H ， ∵DE∥FG ， ∴PC∥FG ，
∴∠D+∠PCD＝180°，∠FHC+∠PCH＝180°，
∴∠D+∠DCH+∠FHC＝360°，
又∵∠CBA是△ABH的外角，AB⊥FG ， ∴∠AHB＝∠ABC﹣90°，
∴∠FHC＝180°﹣（∠ABC﹣90°）＝270°﹣∠ABC ，
∴∠D+∠DCH+270°﹣∠ABC＝360°，即∠D+∠DCB﹣∠ABC＝90°． 即α+β﹣γ＝90°．
【解析】【分析】（1）过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，可证得ED∥PC∥FG，利用平行线的性质求出∠DCP，从而可求出∠PCH的度数；再利用两直线平行，内错角相等，可证得∠PCH=∠CHG，就可求出∠CHG的度数，然后利用垂直的定义及三角形的外角的性质，就可求出∠CBA的度数。
（2） 过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，可证得ED∥PC∥FG，利用平行线的性质可证得 ∠D+∠DCH+∠FHC＝360°，再利用垂直的定义及三角形三角形外角的性质，∠AHB＝∠ABC﹣90°，即可推出∠FHC＝270°﹣∠ABC ， 然后代入整理可得到α，β，γ之间的数量关系。
8．问题情境1:如图1,AB∥CD,P是ABCD内部一点,P在BD的右侧,探究∠B,∠P,∠D之间的关系?
小明的思路是:如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。(直接写出结论)
问题情境2
如图3,AB∥CD,P是AB,CD内部一点,P在BD的左侧,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。(直接写出结论)
问题迁移:请合理的利用上面的结论解决以下问题: 已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F （1）如图4,若∠E=80°,求∠BFD的度数；
（2）如图5中,∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你
的结论。
（3）若∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,设∠E=m°,用含有n,m°的代数式直接写出∠M=________.
【答案】 （1）解：根据问题情境2，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF ∵,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F ∴∠AEF=∠FBE，∠CDF=∠FDE ∴∠FBE+∠FDE=∠BFD ∵∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360° ∴80°+∠BFD+∠BFD=360° ∴∠BFD=140°
（2）结论为：6∠M+∠E=360°
证明：∵∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF ∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM
∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F ∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM ∵∠ABE+∠CDE+∠E=360° ∴6（∠ABM+∠CDM）+∠E=360° ∵∠M=∠ABM+∠CDM ∴6∠M+∠E=360°
（3）证明：根据（2）的结论可知 2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360° 2n（∠ABM+∠CDME）+∠E=360° ∵∠M=∠ABM+∠CDM ∴2n∠M+m°=360° ∴∠M=
【解析】问题情境1: 图1中∠B,∠P,∠D之间关系是：∠P+∠B+∠D=360°，问题情境2：图3中∠B,∠P,∠D之间关系是：∠P=∠B+∠D；
【分析】问题情境1和2 过点P作EP∥AB，利用平行线的性质，可证得结论。
（1）利用问题情境2的结论，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF，再根据角平分线的定义得出
数学七年级上册 期末试卷中考真题汇编[解析版]
