2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A 我们的报名参赛队号为（8 位数字组成的编号）： 10009072 所属学校（请填写完整的全名）： 东南大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 吉张鹤轩
2. 杨升 3. 陈同广
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日期： 2014 年 09 月 15 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编 号 专 用 页
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嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
摘要
本题要求我们以嫦娥三号登月为背景，分析登月轨道参数，重点探讨了登月过程最具难度的着陆轨道设计优化，并对所使用的优化方案进一步作出了误差分析与灵敏度分析。
对于第一问，由于正面求解条件有限，难以从已有的条件中得到近月点和远月点的位置以及准备轨道参数，因此巧妙的使用了逆推思路，通过已知条件求解主减速阶段运动过程， 通过水平位移量反推近月点位置。首先，我们由已知的端点约束条件，结合所学物理知识， 并查阅相关资料，通过线性正切制导率等工程经验判断减速过程中推力控制方案应为推力大小始终为最大值，推力与速度反方向夹角也为恒量，由此建立微分方程模型。但在求解的过程中我们发现，正面求解难度十分大，于是对微分方程离散化，转化为差分方程组，继而通过计算机模拟行为，拟合出最接近解的轨迹，求得水平位移量为 385.21m，由此得到近月点位置为 19.51°W ，31.50°N ，距月面 15km，速度为 1692.46m/s，平行月面指向预期落点方位； 远月点位置为 160.49°E，31.50°S ，距月面 100km，速度为 1612.15m/s，方向与近日点反相平行。
对于第二问，依据题意将其分为五个阶段。对于前两个阶段，建立天体力学分析中常用的二体模型及力学方程组，并对约束条件进行归一化处理。为了后续优化，列出全部归一化约束条件并建立目标函数，从而获得非线性规划模型。之后采用了序列化遗传算法对其进行筛选，从而逼近该阶段全局最优解，最终此阶段燃耗为 1055.39kg。第二阶段同样属于复杂多变量优化问题，同阶段一建立优化模型并通过遗传算法求解该段全局最优解，最终燃耗为
26.71kg。第三第四阶段主要在于图像处理与统计，第三阶段，通过对高程图进行 K 均值聚类分析，将图中像素点分为安全点与危险点，在对地图栅格化，并对方格内点类型统计取整， 对方格二元化为安全格与危险格，在通过扩大寻找最大安全半径，综合考虑水平偏移量，建立合理的落点评价体系，最终找出最优点坐标（1275,1000），燃耗为 86.97kg。第四阶段同样做聚类分析，并根据嫦娥三号实际体积选取合适的栅格大小，并对栅格通过最小二乘法对空间进行线性统计回归，求出平均坡面与平均坡度，结合最大安全半径建立最优落点评价体系， 最终获得最优落点坐标为（88,56），燃耗为 20.68kg。第五阶段最优燃耗为 8.09kg。最后还讨论了简单运动的局部最优模型，简化了后几个阶段的运动学分析与计算。最终综合各段最优解，获得最优着陆轨道与控制策略。
对于第三问，首先总结了优化模型中引入的一些误差因素，并针对主要因素做了数值上的相对误差分析，证明了误差对于优化方案并未产生很大影响。其次从初始变量和约束条件入手，分析了这些变量的波动对于结果产生的影响，最终发现角度控制向量的灵敏性较高， 而其他因素的灵敏性普遍处在较低水平，侧面说明了优化方案的对于初值的不敏感性与方案对于全局最优解的逼近程度较高。
关键词：非线性规划模型 序列化遗传算法 K 均值聚类 空间线性回归 二体模型
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一．问题的提出
背景介绍
根据计划，嫦娥三号将在北京时间 12 月 14 号在月球表面实施软着陆。嫦娥三号如何实 现软着陆以及能否成功成为外界关注焦点。目前，全球仅有美国、前苏联成功实施了 13 次无人月球表面软着陆。
北京时间 12 月 10 日晚，嫦娥三号已经成功降轨进入预定的月面着陆准备轨道，这是嫦娥三号“落月”前最后一次轨道调整。在实施软着陆之前，嫦娥三号还将在椭圆轨道上继续飞行，做最后准备。
嫦娥三号着陆地点选在较为平坦的虹湾区。但由于月球地形的不确定性，最终“落月”地点的选择仍存在一定难度。在整个“落月”过程中，“动力下降”被业内形容为最惊心动魄的环节。在这个阶段，嫦娥三号要完全依靠自主导航控制，完成降低高度、确定着陆点、实施软着陆等一系列关键动作，人工干预的可能性几乎为零。在距月面 100 米处时，嫦娥三号要进行短暂的悬停，扫描月面地形，避开障碍物，寻找着陆点。
问题重述
嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生的推力可调节，变化范围为 1500N 到 7500N，其比冲为 2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为 19.51W，44.12N，海拔为-2641m。
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点 15km， 远月点 100km 的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为 6 个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态，尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
根据上述的基本要求，建立数学模型解决下面的问题：
（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。 （2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在 6 个阶段的最优控制策略。 （3）对设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
二．问题的分析
问题一
由于题目已经明确给出准备轨道的形状参数，可以通过已有的物理知识与几何关系明确计算出近月点与远月点处速度大小和相对于月面的速度方向。为了预期落点与着陆轨道在同一个平面内，且准备轨道过月心，可以大致确定轨道所在平面有无数多个，无法确定近月点和远月点的位置，因此需要其他条件来推测。本题现有的条件下，只有通过着陆轨道逆推近月点，并结合地月轨道制动的实际情况综合考虑，才能得到。对于着陆过程一，由相关报道以及 NASA 在 1976 年提出的线性正切制导率[1]，得知主减速阶段通常都是恒推力作用在轨道切线上，且嫦娥三号主减速阶段实际也是保持着最大推力依照这一定律进行制导。我们由此出发，通过二体模型，结合已知条件，建立微分方程组，通过计算机模拟降落轨迹即可求出降落弧线距离，从而反推近月点，对称得出远月点。
问题二
由问题一已经得出近月点，即开始降落点位置，也知道每一阶段的状态，因此，降落轨
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道大致范围基本确定，但六个过程的精确路径是要通过策略优化来控制的。由于燃料消耗表现在推力在时间上的积累量，即减小推力作用的冲量，即可优化燃料消耗。
对第一个过程，由于推力很大且历时较长，因此燃料消耗主要体现在这一阶段，对应的， 优化策略也应重点体现，由于有二体模型，建立微分方程模型，并由初值条件以及阶段限定条件，可以写出非线性约束条件，本问题及转化为轨道优化中的非线性规划问题，一般可通过成熟的 SQP 算法可以得到全局最优解，但本题采用了更为常见也相对传统的遗传算法， 逼近全局最优解，得出最优方案。
对于第二阶段，仅仅是为了是水平速度将为 0，且推力迅速减小，由上一阶段的优化结果，得出末速度水平分量，由于冲量可分解，则此阶段分为水平方向和竖直方向分别优化， 即分为了两个变速直线运动模型，简化了优化模型，可以由这两个局部最优解加和得到该阶段的全局最优解。
第三个阶段水平速度初始为 0，经过对月面成像分析，制定平坦度评价体系，选择距离中心点最近且满足平坦度要求的区域中心为粗调整目标降落点。由于这一段终点悬停，速度减为 0，因此可以对该段推力进行优化，从而局部燃料最优。
第四阶段悬停，精细成像并分析，同样制定平坦度评价体系并选择距离中心点最近且满足平坦度要求的区域中心作为最终目标降落点，修正轨道。结束时水平速度依然为 0，因此同样存在优化过程。
第五阶段与第六阶段是减速至 0 然后自由落体的过程，针对减速阶段也可考虑优化，可经过简单讨论得到结果。
最后根据各个阶段的最优方案，模拟出嫦娥三号着陆轨道即可。
问题三
为了分析设计轨道和控制策略的误差与敏感性，有必要制定误差指标并考虑各部分误差对于结果的最大影响，敏感性也同样需要这一思路，各个阶段的细微变化会对结果产生影响的衡量。另一方面，或许还有必要寻找参考物以显示该方案的好坏。
三．模型假设
1. 由于月球自转速度为 27.3d，十分缓慢，而着陆过程仅有十几分钟，因此在本题中月球不考虑自转；
2. 由于月球扁率很小，可认为月球为球体，半径以平均半径为准，并且引力场分布均匀；
3. 由于侧面姿态调整喷射装置对燃料影响很小，为简化模型，认为飞行器变换姿态的过程不消耗燃料；
4. 认为飞行器变换姿态是瞬间完成的；
5. 由于着陆时间较短，所以诸如月球引力非球项、日月引力摄动等影响因素均可忽略不计；
6. 推力大小可瞬间改变；
7. 燃料除供给推力外，无任何其他耗散方式； 8. 月球空气稀薄，不考虑任何摩擦力；
9. 由于预定着陆点海拔-2641m，因此在着陆过程中所使用的高度均不应是海拔高度， 而是相对于着陆点海拔的高度。
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2014A数学建模优秀论文
