23．
【考点】MR：圆的综合题．
【分析】（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；
（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；
=，推出∠CEF=
（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得
=
，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴
=
，
∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．
（2）证明：如图2中，连接OE，
∵GF=GE，
∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．
（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．
在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G═∵AH=3，∴HC=4．
，
在Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r﹣3，HC=4，∴（r﹣3）2+42=r2，∴r=
∵GM∥AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴∴
=
，，
∴．
【点评】本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．
24．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可得到关于a、c的方程组，然后解方程组求得a、c的值即可；
（2）设P（m，m2+m﹣4），则F（m，﹣m﹣4），则PF=﹣m2﹣
m，当
PF=OC时，四边形PCOF是平行四边形，然后依据PF=OC列方程求解即可；（3）①先求得点D的坐标，然后再求得AC、DC、AD的长，最后依据勾股定理的逆定理求解即可；②分为△ACD∽△CHP、△ACD∽△PHC两种情况，然后依据相似三角形对应成比例列方程求解即可【解答】解：（1）由题意得：∴抛物线的表达式为y=x2+x﹣4．
（2）设P（m，m2+m﹣4），则F（m，﹣m﹣4）．∴PF=（﹣m﹣4）﹣（m2+m﹣4）=﹣m2﹣∵PE⊥x轴，
m．
，解得：
，
∴PF∥OC．
∴PF=OC时，四边形PCOF是平行四边形．∴﹣m2﹣
m=4，解得：m=﹣或m=﹣8．
，
当m=﹣时，m2+m﹣4=﹣
当m=﹣8时，m2+m﹣4=﹣4．∴点P的坐标为（﹣，﹣
）或（﹣8，﹣4）．
（3）①证明：把y=0代入y=﹣x﹣4得：﹣x﹣4=0，解得：x=﹣8．∴D（﹣8，0）．∴OD=8．
∵A（2，0），C（0，﹣4），∴AD=2﹣（﹣8）=10．
由两点间的距离公式可知：AC2=22+42=20，DC2=82+42=80，AD2=100，∴AC2+CD2=AD2．
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°．②由①得∠ACD=90°．当△ACD∽△CHP时，
=
，即
=
解得：n=0（舍去）或n=﹣5.5或n=﹣10.5．当△ACD∽△PHC时，
=
，即
=
，
解得：n=0（舍去）或n=2或n=﹣18．
综上所述，点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、相似三角形的性质，依据平行线的对边相等列出关于m的方程是解答问题（2）的关键，利用相似三角形的性质列出关于n的方程是解答问题（3）的关键．
2021中考数学必刷题 (423)
