【考点】L7：平行四边形的判定与性质；L9：菱形的判定；LB：矩形的性质．
【分析】（1）由矩形可得∠ABD=∠CDB，结合BE平分∠ABD、DF平分∠BDC得∠EBD=∠FDB，即可知BE∥DF，根据AD∥BC即可得证；
（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，由角平分线知∠ABD=2∠ABE=60°、∠EBD=∠ABE=30°，结合∠A=90°可得∠EDB=∠EBD=30°，即EB=ED，即可得证．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC、AD∥BC，∴∠ABD=∠CDB，
∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，∴∠EBD=∠ABD，∠FDB=∠BDC，∴∠EBD=∠FDB，∴BE∥DF，又∵AD∥BC，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，
∴∠EDB=90°﹣∠ABD=30°，∴∠EDB=∠EBD=30°，∴EB=ED，
又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．
【点评】本题主要考查矩形的性质、平行四边形、菱形，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与菱形的判定是解题的关键．
19．
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．【分析】（1）根据七年级的人数以及百分比，求出总人数即可；
（2）求出总的作文篇数，即可得出九年级参赛作文篇数对应的圆心角的度数；求出八年级的作文篇数，补全条形统计图即可：
（3）假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D，其中A代表七年级获奖的特等奖作文．画出树状图即可解决问题；【解答】解：（1）20÷20%=100；（2）九年级参赛作文篇数对应的圆心角=360°×
=126°；
100﹣20﹣35=45，补全条形统计图如图所示：
故答案为100，126．
（3）假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D，其中A代表七年级获奖的特等奖作文．画树形图如下：
共有12种可能性结果，它们发生的可能性相等，其中七年级特等奖作文被选登在校刊上的可能性有6种，
∴P（七年级特等奖作文被选登在校刊上）==．
【点评】此题考查了扇形统计图和条形统计图、列表法与树状图法的应用；从统计图中、扇形图中获取信息、画出树状图是解决问题的关键．
20．
【考点】AD：一元二次方程的应用；B7：分式方程的应用．
【分析】（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设年增长率为a，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据题意得：解得：x=35，
经检验，x=35是原方程的解．
答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒．（2）设年增长率为a，
2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）．
根据题意得：（60﹣35）×100（1+a）2=（60﹣35+11）×100，解得：a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：年增长率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找准等量关系，列出一元二次方程．
=
，
21．
【考点】KU：勾股定理的应用；T8：解直角三角形的应用．
【分析】（1）连接PA．在直角△PAH中利用勾股定理来求PH的长度；
（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．通过解Rt△ADH、Rt△CDQ分别求得DH、DQ的长度，然后结合图形得到：PQ=PH+DQ﹣DH，把相关线段的长度代入求值即可．
【解答】解：（1）如图，连接PA．由题意知，AP=39m．在直角△APH中，PH=
=
=36（米）；
（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．在Rt△ADH中，DH=AH?cot30°=15在Rt△CDQ中，DQ=
=
（米）．
=78（米）．
则PQ=PH+HQ=PH+DQ﹣DH=36+78﹣15≈114﹣15×1.7=88.5≈89（米）．
答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理的应用．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
22．
【考点】FH：一次函数的应用．
【分析】（1）由于线段AB与x轴平行，故自3时到4.9时这段时间内甲组停留在途中，所以停留的时间为1.9时；
（2）观察图象可知点B的纵坐标就是甲组的汽车在排除故障时距出发点的路程的千米数，所以求得点B的坐标是解答（2）题的关键，这就需要求得直线EF和直线BD的解析式，而EF过点（1.25，0），（7.25，480），利用这两点的坐标即可求出该直线的解析式，然后令x=6，即可求出点C的纵坐标，又因点D（7，480），这样就可求出CD即BD的解析式，从而求出B点的坐标；
（3）由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远，在点B处时，
x=4.9，求出此时的y乙﹣y甲，在点D有x=7，也求出此时的y甲﹣y乙，分别同25比较即可．
【解答】解：（1）甲组在途中停留时间为：4.9﹣3=1.9（小时），故答案为：1.9；
（2）由图象可知，D（7，480）、E（1.25，0）、F（7.25，480），∴乙的速度为设lEF：y乙=80x+b，
将点E（1.25，0）代入，得：100+b=0，即b=﹣100，∴lEF：y乙=80x﹣100（1.25≤x≤7.25）；当x=6时，y=80×6﹣100=380，∴点C（6，380），设lBD：y甲=mx+n，
将点C（6，380）、D（7，480）代入，得：解得：
，
，
=80（km/h），
∴lBD：y甲=100x﹣220（4.9≤x≤7），当x=4.9时，y=270，
答：甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是270千米．
（3）符合约定，
由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远．
在点B处有y乙﹣y甲=80×4.9﹣100﹣（100×4.9﹣220）=22千米＜25千米，在点D有y甲﹣y乙=100×7﹣220﹣（80×7﹣100）=20千米＜25千米，∴按图象所表示的走法符合约定．
【点评】本题是依据函数图象提供的信息，解答相关的问题，充分体现了“数形结合”的数学思想，是中考的常见题型，其关键是认真观察函数图象、结合已知条件，正确地提炼出图象信息．
2021中考数学必刷题 (423)
