第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合， 其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：
1. 元素的确定性； 2. 元素的互异性； 3. 元素的无序性 说明： (1) 对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任 何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2) 任何一个给定的集合中， 任何两个元素都是不同的对象， 相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3) 集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个 集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺 序是否一样。
(4) 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体 性。 3、集合的表示：｛…｝如｛我校的篮球队员｝, ｛太平洋,大 西洋, 印度洋 , 北冰洋｝
1. 用 拉 丁 字 母 表 示 集 合 ： A=｛ 我 校 的 篮 球 队 员 ｝,B=｛1,2,3,4,5｝
2．集合的表示方法：列举法与描述法。 非负整数集(即自然数集)记作： N 正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，女口： a是集合A的元 素，就说a属于集合A记作a � A ,相反，a不属于集合A记作 aA
列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号 括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集 合的方法。
① 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
② 数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x � R| x-3>2} 或{x| x-3>2}
4、集合的分类：
（1）．有限集 含有有限个元素的集合 （ 2）．无限集 含有无限个元素的集合 （3）．空集 不含任何元素的集合 例： { x |x2 二、集合间的基本关系
1. “包含”关系—子集
5}
注意：有两种可能（1） A是B的一部分，；（2） A与B是同 一集合。
反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B 或B A
2. “相等”关系（5 > 5,且5< 5,贝S 5=5） 实例：设 A= {x|x2 1 0} B={-1,1} “元素相同”
结论：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是 集合B的元素，同时，集合B的任何一个元素都是集合 A的元素， 我们就说集合A等于集合B,即：A=B
任何一个集合是它本身的子集。 A A
② 真子集：如果A B,且B A那就说集合A是集合B的真子 集,记作 A B（ 或 B A）
③ 如果 A B, B C , 那么 A C ④ 如果 A B 同时 B A 那么 A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为①
规定： 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子 集。 三、集合的运算
1．交集的定义：一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组 成的集合，叫做A,B的交集.
记作 AA B(读作” A 交 B”)，即 AA B={x|x � A,且 x� B}. 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合 A或属于集合B的元 素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：AU B(读作” A并B”), 即 AU B={x|x � A,或 x � B}.
3、 交集与并集的性质：AA A = A, A A? = ? , A A B = BA A, AU A = A,
AU? = A ,A U B = B U A. 4、 全集与补集
(1) 补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即)，由 S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或 余集)
(2) 全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部 元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用 U来表示。
四、函数的有关概念 1.
函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的
对 应关系f,使对于集合A中的任意一个数X,在集合B中都有唯一确 定的数f(x)和它对应，那么就称f : A- B为从集合A到集合B的一 个函数.记作：y=f(x) , x� A.其中，x叫做自变量，x的取值范围 A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的 集合{f(x)| x � A }叫做函数的值域.
注意：如果只给出解析式 y=f(x) ，而没有指明它的定义域，则 函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 函数的定义 域、值域要写成集合或区间的形式.
定义域补充
能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域， 求函数的 定义域时列不等式组的主要依据是： (1) 分式的分母不等于零； (2) 偶次方根的被开方数不小于零； (3) 对数式的真数必须大于零； (4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5) 如果函数是由一些基 本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部分都有 意义的 x 的值组成的集合 .(6)指数为零底不可以等于零 (6) 实际问 题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 .
( 又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。 ) 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于 值域是由定义域和对应关系决定的， 所以， 如果两个函数的定义域和 对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数) (2)两个 函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致， 而
与表示自变 量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定 义域一致 ( 两点必须同时具备 ) ( 见课本 21页相关例 2)
值域补充
(1) 、函数的值域取决于定义域和对应法则， 不论采取什么方法求 函数的值域都应先考虑其定义域 . (2). 应熟悉掌握一次函数、 二 次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函 数值域的基础。
3. 函数图象知识归纳
(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x � A)中的 x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x, y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x
� A)的图象.
集合C上每一点的坐标(x , y)均满足函数关系y=f(x)，反过来， 以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 (x， y) ，均在 C 上.即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x
有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2) 画法
A、 描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y的一些对应值 并列表，以 (x,y) 为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y) ，最后用 平滑的曲线将这些点连接起来 .
B、 图象变换法(请参考必修4三角函数) 常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3) 作用：
1、直观的看出函数的性质； 2、利用数形结合的方法分析解题的 思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。
4．了解区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （ 2）无穷区 间；（3）区间的数轴表示．
5．什么叫做映射
一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应 法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确 定的元素
� A },图象C一般的是一条
光滑的连续曲线 (或直线), 也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多 只
y与之对应，那么就称对应f : A- B为从集合A到集合B 的一个映射。记作“ f : A- B ”
给定一个集合A到B的映射，如果a� A,b � B.且元素a和元素b 对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原 象
说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合 A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集 合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对 于映射f : A- B来说，则应满足：（I）集合A中的每一个元素，在 集合B中都有象，并且象是唯一的；（H）集合A中不同的元素，在 集合B中对应的象可以是同一个；（皿）不要求集合B中的每一个元 素在集合A中都有原象。
常用的函数表示法及各自的优点:
1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的 点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据； 2 解析法:必须 注明函数的定义域； 3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义 域；化简函数的解析式；观察函数的特征； 4 列表法:选取的自变量 要有代表性,应能反映定义域的特征．
解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法: 便于量出函数值 .
补充一:分段函数 （参见课本 P24-25）
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范 围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。 分段函数的解析式 不能写成几个不同的方程， 而就写函数值几种不同的表达式并用一个 左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． ( 1)分段 函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数； ( 2)分段函数的定义 域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
补充二：复合函数
如果 y=f(u),(u � M),u=g(x),(x � A),则 y=f[g(x)]=F(x) A) 称为 f 、g 的复合函数。
例如 : y=2sinx y=2cos(2x+1)
, (x �
(完整版)人教版必修一集合与函数概念知识点(20201014042223)
