导数专练7——数列不等式的证明
ex1．已知函数f(x)?(x??1)． x?1（Ⅰ）求函数f(x)的最小值；
12n?1nnne（Ⅱ）求证：()n?()n???()?()?(n?N) nnnne?1exxex【解答】解：（Ⅰ）函数f(x)?， (x??1)的导数为f?(x)?(x?1)2x?1由f?(x)?0可得x?0，由由f?(x)?0可得?1?x?0， 即有f(x)在(?1,0)递减，在(0,??)递增，
则x?0处f(x)取得极小值，也为最小值，且为f(0)?1；
ex（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1，即exx?1，即有xln(x?1)，
x?1当且仅当x?0取得等号，令1?x?kkk，则?1ln， nnn即k?nnlnkk（当且仅当n?k取得等号）， ?ln()n．
nn12将k从1到n取值，可得1?nln()n.2?nln()n?，
nn(n?1)?nln(n?1nn)，n?nln()n． nn12n?1n(n?1)?nn则有()ne1?n，()ne2?n，?，(，()nen?n． )ennnn12n?1nnn1?n即有()n?()n???()?()e?e2?n???e(n?1)?n?en?n
nnnne1?n(1?en)e?e1?ne???(n?N)．
1?ee?1e?12．已知函数f(x)?ln(1?x)?x(a?R,a?0)． 1?x1
（1）求f (x)的单调区间； （2）证明：?n?N*，有111?ln(?1)?； n?1nn（3）若an?1?11????lnn，证明：?n?N*，有an?an?1?0． 2n【解答】（1）解：f?(x)?11x． ??1?x(1?x)2(1?x)2令f?(x)?0，又x??1，则x?0， 令f?(x)?0，又x??1，则?1?x?0
故f(x)的递减区间是(?1,0)，递增区间是(0,??)?（4分）
1111x（2）证明：设x??(0,1]，则?ln(?1)???ln(x?1)?x，
nn?1nnx?1由（1）知：f (x)?ln(1?x)?x，f (0)?0， x?1x?ln(x?1)． x?1当x?(0,1)时，f (x)单调递增，?f (x)?0，即
再来证明：当x?(0,1)时ln(1?x)?x．
1?x?1??0， x?1x?1构造函数m(x)?ln(x?1)?x x?(0,1)，则m?(x)?故m(x)在(0,1)上递减，
?当x?(0,1)时，m(x)?m(0)?0，即ln(1?x)?x，
综上可知：?n?N*有
111?ln(?1)?．?（8分） n?1nn111?ln(?1)? n?1nn（3）证明：由（2）的结论知，?n?N*有
?an?1?an?111?ln(n?1)?lnn??ln(1?)?0 n?1n?1n?an?an?1
2
又an?1?1111????lnn?ln(1?1)?ln(1?)???ln(1?)?lnn 2n2n3n?1?ln2?ln???ln?lnn?ln2?(ln3?ln2)???[ln(n?1)?lnn]?lnn?ln(n?1)?lnn?0
2n综上，?n?N*有an?an?1?0?（12分）
3．已知f(x)?asinx(a?R)，g(x)?ex．
（1）若0?a1，判断函数G(x)?f(1?x)?lnx在(0,1)的单调性； （2）证明：sin1111?sin?sin???sin?ln2，(n?N?)； 2222234(n?1)（3）设F(x)?g(x)?mx2?2(x?1)?k(k?Z)，对?x?0，m?0，有F(x)?0恒成立，求k的最小值．
1【解答】（1）解：由题意：G(x)?asin(1?x)?lnx，G?(x)??acos(1?x)?，
x当0?x?1，0?a1时，?1，cosx?1，?G?(x)?0恒成立，
?函数G(x)?f(1?x)?g(x)在区间(0,1)上是增函数；
（2）证明：由（1）知，当a?1时，G(x)?sin(1?x)?lnx在(0,1)单调递增， 1?sin(1?x)?lnx?G（1）?0，?sin(1?x)?ln，(0?x?1)，
x设1?x?11k(k?2)，则， x?1??(1?k)2(1?k)2(1?k)2?sin1k(k?2)1?kk?2， ?ln?ln?ln22(1?k)(1?k)kk?1?sin11112334n?1n?2n?2?sin?sin???sin?ln?ln?ln?ln???ln?ln?ln2?ln?ln2223242(n?1)21223nn?1n?1， 即结论成立；
（3）解：由F(x)?g(x)?mx2?2(x?1)?k?ex?mx2?2x?k?2?0，
3
第3章导数专练7—数列不等式的证明-高三数学一轮复习
