高中数学总复习专题练习
08 直线与圆的位置关系
A组
一、选择题
1．过点?2,1?的直线中，被圆x?y?2x?4y?0截得的弦最长的直线的方程是
22( )
A．3x－y－5＝0 C．3x－y－1＝0 [答案] A
[解析] x?y?2x?4y?0的圆心为(1,?2)，截得弦最长的直线必过点(2,1)和圆心(1,?2)
22B．3x－y－7＝0 D．3x+y－5＝0
?直线方程为3x－y－5＝0，故选D．
2．已知2a2?2b2?c2，则直线ax?by?c?0与圆x?y?4的位置关系是 ( ) A．相交但不过圆心 C．相切 [答案] A
[解析] Q2a2?2b2?c2，
B．相交且过圆心 D．相离
22c2?a?b?.
222?圆心(0,0)到直线ax?by?c?0的距离d?ca?b22?cc22?2?2，
?直线ax?by?c?0与圆x2?y2?4相交，
又Q点(0,0)不在直线ax?by?c?0上，故选D．
3．若过点A(4,0)的直线l与曲线(x?2)?y?1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为 ( )
A．?3,3
22??B．??3,3?
???33?C．???3,3??
??[答案] D
?33?D．??,?
33??[解析] 解法一：如图，BC?1，AC?2，
??BAC?30?， ??33?k?. 33解法二：设直线l方程为y?k(x?4)，则由题意知，
2k?0?4k1?k2?1，??33?k?. 3322解法3：过A(4,0)的直线l可设为x?my?4，代入(x?2)?y?1中得：
(m2?1)y2?4my?3?0，
）=4m?12?0得 由??16m?12(m?1222m??3或m?3.
?l的斜率k?133?[?,0)U(0,]，特别地，当k?0时，显然有公共点， m33?33??k???,?．
33??4．已知M是圆C:(x?1)?y?1上的点，N是圆C':(x?4)?(y?4)?8上的点，则MN的最小值为 ( )
A．4 C．22?2 [答案] D
[解析] QCC'?5?R?r?7，
B．42?1 D．2
22222?圆C内含于圆C'，则MN的最小值为R?CC'?r?2.
5．过圆x?y?4外一点M(4,?1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为 ( )
A．4x?y?4?0 C．4x?y?4?0 [答案] A
[解析] 以线段OM为直径的圆的方程为x?y?4x?y?0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x?y?4?0，这就是经过两切点的直线方程．
6．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m,?1)，两圆圆心都在直线x?y?c?0上，则
2222B．4x?y?4?0 D．4x?y?4?0
m?c的值是 ( )
A．?1 C．3 [答案] C
[解析] 两点A，B关于直线x?y?c?0对称，kAB?B．2 D．0
?4??1. m?1
?m?5，线段AB的中点(3,1)在直线x?y?c?0上，
?c??2，?m?c?3.
7．已知圆C的方程是x?y?4x?2y?4?0，则x?y的最大值为 ( ) A．9 C．14?65 [答案] D
[解析] 圆C的标准方程为(x?2)?(y?1)?9，圆心为C(?2,1)，半径为3.
222222B．14 D．14?65
OC?5，圆上一点(x,y)到原点的距离的最大值为3?5，x2?y2表示圆上的一点
(x,y)到原点的距离的平方，最大值为3?52??2?14?65. 8．方程1?x?x?k有惟一解，则实数k的范围是 ( ) A．k??2 C．k?[?1,1) [答案] D
[解析] 由题意知，直线y?x?k与半圆x?y?1(y?0)只有一个交点．结合图形易得k?22B．k??2,2 D．k???2或?1?k?1
2或?1?k?1.
二、填空题
9．设直线l截圆x?y?2y?0所得弦AB的中点为??________；AB?________.
[答案] x?y?2?0
22?13?,?，则直线l的方程为22??2 2222[解析] 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?y1?2y1?0，x2?y2?2y2?0，两式相
减得?x1?x2??x1?x2???y1?y2??y1?y2??2?y1?y2??0，kAB?程为y?y1?y2?1.故l的方
x1?x231?1?(x?)，即x?y?2?0.又圆心为(0,1)，半径r?1，故AB?2. 22
10．圆x?y?6x?7?0圆x?y?6y?27?0的位置关系是________. [答案] 相交
[解析] 圆x?y?6x?7?0的圆心为O1(?3,0)，半径r1?4， 圆x?y?6y?27?0的圆心为O2(0,?3)，半径为r2?6，
22222222?O1O2?(?3?0)2?(0?3)2?32，?r2?r1?OO12?r1?r2，故两圆相交．
11．某公司有A、B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路2km和22km，且A、B景点间相距2km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线
时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于________.
[答案] B景点在小路的投影处
[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A、B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x轴，过B点与x轴垂直的直线为y轴上建立直角坐标系．由题意，得A222?2,2、B0,22，设圆的方程为
??????a?42?a?0(x?a)?(y?b)?b.由A、B在圆上，得?，或?，由实际意义知
???b?2?b?52??a?022.?圆的方程为x?(y?2)?2，切点为?0,0?，?观景点应设在B景点在小???b?2路的投影处．
三、解答题
12．求满足下列条件的圆x?y?4的切线方程： (1)经过点P22?3,1；
?(2)斜率为?1； (3)过点Q?3,0?． [解析] (1)Q点P?3,1在圆上．
??所求切线方程为3x?y?4?0.
(2)设圆的切线方程为y??x?b， 代入圆的方程，整理得
高中数学总复习专题练习08---直线与圆的位置关系
