矩阵Hadamard积特征值的估计
刘 微
【摘 要】摘要：利用矩阵有向图上的k-path 覆盖,给出了非负矩阵Hadamard 积的最大特征值上、下界的估计式，改进了相关结果，使估计更具优越性. 【期刊名称】北华大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2011(012)003 【总页数】3
【关键词】非负矩阵；Hadamard积；特征值；估计
1 引言与记号
矩阵的Hadamard积是特殊的矩阵乘积[1-2],它们被广泛地应用于周期函数卷积的三角矩阵、盲源信号分离、图像处理、 积分方程核的积、 概率论中特征函数的研究和偏微分方程中弱极小原理、组合论中结合方案及算子理论中无限矩阵的 Hadamard积等方面的研究中.关于矩阵的Hadamard积的特征值界的估计已有很多结果(如文献[2-4]等).本文利用矩阵有向图的k-path覆盖，研究了非负矩阵A和B的Hadamard积最大特征值上、下界的估计，得到了更具一般意义的结果，使其界的估计更具准确性.
本文中以Mn()表复数域上n×n阶矩阵集合，Nn表所有n×n阶非负矩阵集合.对A∈Mn()，Γ(A)表其有向图；C(A)表Γ(A)的简单回路和平凡回路构成的集合；σ(A)表的特征值集合，简称谱集；ρ(A)表A的谱半径.由Perron-Frobenius定理[1，5]，当A∈Nn时有ρ(A)∈σ(A)，也称其为Perron根.
2 定义及引理
定义2.1[2，5] 设A=(aij)，B=(bij)∈Nn，则A，B的Hadamard积定义为
A°B=(aijbij).
定义2.2[6] 设γ：i1，i2，…，is，is+1=i1∈C(A)，k是正整数，t=min{k+1，s}，s与r的最小公倍数为[t，r]=pt=qs.称γ中那些分别以ij，ij+t，…，ij+(p-1)t为始点，包含t-1条有向边的有向路径所组成的集合π1，…，πp为简单回路γ的(以ij为基点的)k-path覆盖，记为Pk(γ).
对?γ∈C(A)取定一个k-path覆盖Pk(γ)，把所有这些Pk(γ)构成的集合记为Pk(A).
定义2.3[7] 设A，B∈Nn，Pk(A)，Pk(B)分别为矩阵A，B的有向图Γ(A)，Γ(B)上的k-path覆盖，且C(B)为C(A)的子图.若对?π∈Pk(γ)∈Pk(A)，不妨记
π
：
i1
，
i2
，
…
，
ik
，
ik+1
，
都
有
ai1i2ai2i3…aikik+1aik+1ik+2≥bi1i2bi2i3…bikik+1bik+1ik+2，则称A按k-path覆盖大于等于B，记为
如果k=0，我们视其为平凡覆盖，此时即为一般意义上的结果，即A≥B.
根据矩阵有向图k-path覆盖的定义，若C(B)为C(A)的子图，则对?γ∈C(B)，不妨记则有∏γ(A)≥∏γ(B)，其中γ=s表γ∈C(A)之长度.我们把满足上述条件的两个矩阵A，B称为A弱大于等于B，并记为 文献[8]给出如下结果：
引理2.1 设A=(aij)，B=(bij)∈Nn，且则ρ(A)≥ρ(B).
引理2.2[8] 设A=(aij)，B=(bij)∈Nn，C(B)为C(A)的子图，Pk(A)，Pk(B)分别为Γ(A)，Γ(B)的k-path覆盖.若则ρ(A)≥ρ(B).
3 主要结果
定理3.1 设A=(aij)，B=(bij)∈Nn，Pk(A)和Pk(B)(k≥1，k∈+)分别为Γ(A)和
Γ(B)上的k-path覆盖，C(A)与C(B)是一致的.则有
证明 设(γ).当s≥k时，记[s，k+1]为s，k+1的最小公倍数，则 因此，有
∏γ(A°B)≤1/(k+1)s·∏γ(A)，
即1/(k+1)·A，因此，由引理2.1，有 1/(k+1). 类似可证 1/(k+1). 因此有
ρ(A°B)≤min1/(k+1) . 同理可证
max1/(k+1)≤ρ(A°B). 当s 推论3.1 设A=(aij)，B=(bij)∈Nn，Pk(A)和Pk(B)(k≥1，k∈+)分别为Γ(A)和Γ(B)上的k-path覆盖，C(B)是C(A)的子图.则有 1/(k+1). 推论3.2 设A=(aij)，B=(bij)∈Nn，Pk(A)和Pk(B)(k≥1，k∈+)分别为Γ(A)和Γ(B)上的k-path覆盖，Pk(A°B)为Γ(A°B)上的k-path覆盖，则有 定理3.2 设A=(aij)，B=(bij)∈Nn，Pk(A)和Pk(B)(k≥1，k∈+)分别为Γ(A)和Γ(B)上的k-path覆盖，则有 ρ(A°B)≤min1/(k+1)， 1/(k+1) .
矩阵Hadamard积特征值的估计
