§9.4 直线与圆的位置关系
考情考向分析
考查直线与圆的位置关系的判断，根据位
置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等．题型以填空题为主．
1
判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系． d
(2)代数法：――――→?＝0?相切；Δ＝b2－4ac
??<0?相离.
2
概念方法微思考
1．过一定点作圆的切线，切线条数可能有几种情况．
提示 三种情况，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条． 2．求圆的弦长有几种常用方法． 提示 三种．
(1)用代数法求出弦的端点坐标，然后利用两点间的距离公式． (2)利用半径、半弦和圆心到直线的垂线段构成的直角三角形．
(3)利用弦长公式．若斜率为k的直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB＝1＋k2|x1－x2|＝|y1－y2|(其中k≠0)，特别地，当k＝0时，AB＝|x1－x2|，当斜率不存在时，AB＝|y1－y2|.
1
1＋2
k
3
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( × ) (2)直线y＝kx＋1和圆x2＋y2＝4一定相交．( √ )
(3)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( √ )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( √ )
(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ )
题组二 教材改编
2．[P115T1]圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是 ． 答案 相交
|2－2－5|
解析 圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离为＝5<6，故直线与圆相交．
53．[P117习题T2(3)]若过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为 ． 17
答案 1或
7
解析 将圆的方程化为标准方程得(x－1)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心坐标为(1,1)，半径r＝1， 又弦长为2，
4
∴圆心到直线l的距离d＝
12－?
22?2
＝， ?2?2
设直线l的斜率为k，又直线l过点(－1，－2)， ∴直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0， ∴|2k－3|
2＝，即(k－1)(7k－17)＝0， 1＋k22
17
解得k＝1或k＝，
717
则直线l的斜率为1或.
7题组三 易错自纠
4．若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是 ． 答案 [－22－1,22－1]
解析 圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线的距离d＝
|2－1＋m||2－1＋m|
，若直线与圆恒有公共点，则≤2， 22
解得－22－1≤m≤22－1.
5．过点A(3,5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为 ． 答案 5x－12y＋45＝0或x－3＝0
解析 化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)， ∵OA＝?3－1?2＋?5－2?2＝13>2，∴点A(3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1,2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝5
即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝，
12
故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.
6．(2018·苏北四市摸底)若直线ax＋y＋1＝0被圆x2＋y2－2ax＋a＝0截得的弦长为2，则实数a的值是 ． 答案 －2
解析 圆x2＋y2－2ax＋a＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2－a， ∴圆心为(a,0)，半径为a2－a， 圆心到直线的距离为d＝a2＋1a2＋1
＝a2＋1.
|3－2k|k2＋1
＝2，
5
2020年 高考数学(文科)总复习超级详细讲解 效率提分之第9章 9.4
