第4讲 椭 圆
一、选择题
1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )． A.C.
x281
＋＋
y272
＝1 B.＝1 D.
x281
＋＝1 9＋y2
x281
y245
x281
y236
＝1
1
解析 依题意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝×2a，∴c＝3，
3∴b＝a－c＝81－9＝72，∴椭圆方程为答案 A
x2y2
2．椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( )． 1A.4
5B.5
1
C.2
D.5－2
2
2
2
x281
＋y272
＝1.
解析 因为A，B为左、右顶点，F1，F2为左、右焦点，所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c.
又因为|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列， 所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2. c5
所以离心率e＝a＝5，故选B. 答案 B
?1?
3．已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈?2，1?，则实数m的取值范围是 ( )．
??3??
A.?0，4? ??
?4?
B.?3，＋∞? ??4??3??
D.?4，1?∪?1，3? ????
3??4??
C.?0，4?∪?3，＋∞? ????
y21?1?4
解析 椭圆标准方程为x＋1＝1.当m>1时，e2＝1－m∈?4，1?，解得m>3；
??
m
2
1－1m3?1?2
当0 ?? m3??4??是?0，4?∪?3，＋∞?. ????答案 C 4．设F1、F2分别是椭圆＋y＝1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一 4点，且PF1⊥PF2，则点P的横坐标为( )． 826 A．1 B. C．22 D. 33 解析 由题意知，点P即为圆x＋y＝3与椭圆＋y2＝1在第一象限的交点， 4 2 2 x2 2 x2 ?解方程组?x?4＋y＝1， 2 2 x2＋y2＝3， 得点P的横坐标为26 . 3 答案 D x2y2 5．椭圆2＋2＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FABab是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为( ) 3－15－1A. B. 22C. 1＋53＋1 D. 44 解析 根据已知a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解－1±55－1得e＝，故所求的椭圆的离心率为. 22答案 B x2y23 6．已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率为2.双曲线x2－y2＝1的渐近线与 椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为 ( )． x2y2 A.8＋2＝1 x2y2 B.12＋6＝1 x2y2 D.20＋5＝1 x2y2 C.16＋4＝1 3c333 解析 因为椭圆的离心率为2，所以e＝a＝2，c2＝4a2，c2＝4a2＝a2－b2，12x222 所以b＝4a，即a＝4b.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得a2＋2 x2x2x25x2242224222＝1，即2＋2＝2＝1，所以x＝b，x＝±b，y＝b，y＝±b，则b4bb4b55552??2 b，b?，所以四边形在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为?55??22162x2y22 的面积为4×b×b＝5b＝16，所以b＝5，所以椭圆方程为20＋5＝1. 55答案 D 二、填空题 7．设F1、F2分别是椭圆 x225 ＋y216 ＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的 中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________． 1 解析 由题意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6.∴|PF1|＝2×5－6＝4. 2答案 4 x2y2 8．在等差数列{an}中，a2＋a3＝11，a2＋a3＋a4＝21，则椭圆C：a＋a＝1的离 65 心率为________． 解析 由题意，得a4＝10，设公差为d，则a3＋a2＝(10－d)＋(10－2d)＝2016－13 －3d＝11，∴d＝3，∴a5＝a4＋d＝13，a6＝a4＋2d＝16>a5，∴e＝＝ 434. 3 答案 4
第4讲 椭 圆
