2024-2024学年山东省高三（下）开学收心数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A＝{x|0≤log3x≤2}，B＝{x|y＝
}，则A∩B＝（ ）
A．[1，3] 2．（5分）已知复数
B．[6，9] C．[3，9] D．[﹣3，6]
，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）设，，，则（ ）
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b
4．（5分）函数f（x）＝cos2（x+
）的最小正周期为（ ）
A． B．2π C．π D．
5．（5分）“lnm＜lnn”是“m2＜n2”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则|AF|＝（ ） A．16
B．10
C．12
D．8
7．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝xlnx+1，则曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线方程为（ ） A．y＝﹣x
B．y＝﹣x+2
C．y＝x
D．y＝x﹣2
8．（5分）在四面体ABCD中，且AB⊥AC，AC⊥CD，AB，CD所成的角为30°，AB＝5，AC＝4，CD＝3，则四面体ABCD的体积为（ ） A．5
B．6
C．7
D．8
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．（5分）一组数据2x1+l，2x2+1，2x3+1，…，2xn+1的平均值为7，方差为4，记3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3xn+2的平均值为a，方差为b，则（ ） A．a＝7
B．a＝ll
C．b＝12
D．b＝9
10．（5分）设m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下面结论不正确的是（ ）
A．若m?α，n?β，α∥β，则m∥n
B．若m∥α，n∥β，m⊥n，则a⊥β C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n D．若m∥α，n∥α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
11．（5分）在三棱锥D﹣ABC中，AB＝BC＝CD＝DA＝l，且AB⊥BC，CD⊥DA，M，N分别是棱BC，CD的中点，下面结论正确的是（ ） A．AC⊥BD
B．MN∥平面ABD
C．三棱锥A﹣CMN的体积的最大值为
D．AD与BC一定不垂直
12．（5分）定义：若函数F（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，则称区间[a，b]是函数F（x）的“完美区间”，另外，定义区间[a，b]的“复区间长度”为2（b﹣a），已知函数f（x）＝|x2﹣1|，则（ ）
A．[0，1]是f（x）的一个“完美区间” B．[
，
]是f（x）的一个“完美区间”
C．f（x）的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+D．f（x）的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+2三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）已知向量
，
的夹角为θ，则sinθ＝ ．
14．（5分）（2x3﹣）8的展开式中常数项是 ．（用数字表示）
15．（5分）左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为 ．
16．（5分）已知抛物线y2＝4x的准线与x轴的交点为H，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且|PH|＝k|PF|，当k最大时，点P恰好在以H，F为焦点的双曲线上，则k的最大值为 ，此时该双曲线的离心率为 ． 四、解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）在①cos2B﹣
sinB+2＝0②2bcosC＝2a﹣c③＝
三个条件中任选一
个，补充在下面问题中，并加以解答，
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 ，且a，b，c成等差数列，则△ABC是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（12分）已知数列{an}满足
+
+
+…+
＝．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{
}的前n项和为Tn，证明：
≤Tn＜．
19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，ABCD是边长为4的正方形，SD⊥平面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点． （l）证明：EF∥平面SAD．
（2）若SD＝8，求二面角D﹣EF﹣S的正弦值．
20．（12分）生男生女都一样，女儿也是传后人．由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计．这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60．
（1）完成下列2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；
头胎为女孩 头胎为男孩 合计
生二孩 60
不生二孩
合计 200
（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X的分布列及数学期望． 附：
P（K2≥k）
k
0.15 2.072
0.05 3.841
0.01 6.635
0.001 10.828
（其中n＝a+b+c+d）．
21．（12分）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，MN为该椭圆的一条垂
直于x轴的动弦，直线m：x＝4与x轴交于点A，直线MF2与直线AN的交点为B． （1）证明：点B恒在椭圆C上．
（2）设直线n与椭圆C只有一个公共点P，直线n与直线m相交于点Q，在平面内是否存在定点T，使得
恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由．
22．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣l，g（x）＝ax2﹣（a﹣2）x． （l）设函数H（x）＝f'（x）﹣g（x），讨论H（x）的单调性；
（2）设函数G（x）＝g（x）+（a﹣2）x，若f（x）的图象与G（x）的图象有A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的交点，证明：In（xlx2）＞2+ln2．
山东省2024届高三下学期开学收心检测数学试题及答案
