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浙江省温州中学自主招生九年级数学模拟试卷 （本卷满分：150分 考试时间：90分钟）
一、单项选择题（本大题分5小题，每题4分，共20分）
1. 气象台预报：“本市明天降水概率是80%”，但据经验，气象台预报的准确率仅为80%，则在
此经验下，本市明天降水的概率为················( ) A、84% B、80% C、68% D、64%
2. 如图，已知?A的平分线分别与边BC、?ABC的外接圆交于点D、M，过D任作一条与直线BC不重合的直线l，直线l分别与直线MB、MC交于点P、Q，下列判断不正确的是···········································( ) A．无论直线l的位置如何，总有直线PM与?ABD切
B．无论直线l的位置如何，总有?PAQ??BAC C．直线l选取适当的位置，可使A、P、M、Q四D．直线l选取适当的位置，可使S?APQ 第2题 的外接圆相 点共圆 3. 欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作 为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n的最小值为·········( ) A．6 B．7 C．8 D．9 4. 将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交， 则··················································( ) A．存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形 B．存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形 C．存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形 D．任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形 5. 已知实系数二次函数f?x?与g?x?，f?x??g?x?和3f?x??g?x??0有两重根，f?x?有两相异 实根，则g?x?···································( ) A．有两相异实根 B．有两相同实根 C．没有实根 D．没有有理根 二、填空题（本大题分10小题，每题6分，共60分） ...... ...... ?2y2?x?xy?3?25，??y26. 设正数x、y、z满足方程组??z2?9，则xy+2yz+3zx的值为 ． ?3?z2?zx?x2?16.??7. 已知ABCD是一个正方形，点M(异于点B、C)在边BC上，线段AM的垂直平分线l分别交AB、CD于点E、F．若AB=1，则BE?DF的取值范围为 ． 8. 已知实数a，b，c，d满足2a2+3c2=2b2+3d2=(ad-bc)2=6，则(a2+b2)(c2+d2)的值为 ． 9. 由两个不大于100的正整数m，n组成的整数对(m,n)中，满足： mm?1 ?2?n?12的有 对． 10. 甲、乙两人在一个5×5的方格纸上玩填数游戏：甲先填且两人轮流在空格中填数，甲每次 选择一个空格写上数字1，乙每次选择一个空格写上数字0，填完后计算每个3×3正方形内9个数之和，并将这些和数中的最大数记为A，甲尽量使A增大，乙尽量使A减小，则甲可使A获得的最大值是 ． 11. 一个锐角?ABC，?BAC?60?，三点H、O、I分别是?ABC的垂心、外心和内心，若BH=OI， 则?ACB= ． 12. 设ΔABC的内切圆⊙O与边CA上的中线BM第12题 交于点 G、H，并且点G在点B和点H之间．已知AB=2．则GH的最大值为 ． BG=HM， 13. 设a、b为实数，函数f?x??ax?b满足：对任意x∈[0,1]，有f?x??1，则S??a?1??b?1?的取值范围为 ． 14. 已知抛物线y2=6x上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2)，其中x1≠x2且x1+x2=4．线段AB的垂直平 分线与x轴交于点C，则S?ABC的最大值为 ． 15. 将一个3×3的正方形的四个角上各去掉一个单位正方形所得到的图形称为“十字形”．在一 个10×11的棋盘上，最多可以放置 个互不重叠的“十字形”．(每个“十字形”恰好盖住棋盘上的5个小方格) 三、解答题（本大题分5小题，16题10分，17~20题每题15分，共70分） 16. 三角形的三边之长是某个系数为有理数的三次方程的根．证明：该三角形的高是某个系数 为有理数的六次方程的根． ...... ...... 17. 已知ΔABC内有n个点(无三点共线)，连同A、B、C共n+3个点．以这些点为顶点把ΔABC分成 若干个互不重叠的小三角形．现把A，B，C分别染成红色、蓝色、黄色，而其余n个点，每个点任意染上红、蓝、黄三色之一．求证：三顶点都不同色的小三角形的总数必是奇数． 18. 设奇数a，b，c，d满足0 试证：a=1． ...... ...... 19. 如图，在锐角?ABC中，∠BAC≠60°，过点B、C分别作?ABC的外接圆⊙O的切线BD、CE， 且满足BD=CE=BC．直线DE与AB、AC的延长线分别交于点F、G．设CF与BD交于点M，CE与BG交于点N，证明：AM=AN． ...... 第19题 ...... 20. 如图，在?ABC中，AB>AC，内切圆⊙I与边BC切于点D，AD与⊙I的另一个交点为E，⊙I的 切线EP与BC的延长线交于点P，CF∥PE且与AD交于点F，直线BF与⊙I交于点M、N，M在线段 BF上，线段PM与⊙I交于另一点Q． 证明：∠ENP=∠ENQ． ...... 第20题 ...... 温州中学自主招生 数学模拟试卷 参 考 答 案 及 评 分 建 议 ...... ...... 一、单项选择题（本大题分5小题，每题4分，共20分） [ 1~5 ] C C B D C 二、简答题(本大题分10小题，每空6分，共60分) [本大题评分建议：若数字书写不清晰，不给分] ?1?6、 243 7、 ?0，? 8、 6 9、 171 ?4?10、 6 11、 40° 12、 2 14913、 [-2,] 14、 7 15、 15 43 三、分析解答题(本大题分5小题，16题10分，17~20题每题15分，共70分) 16、(10分)(可能有多种解法) [证明] (3分) (7分) 故得证！ (10分) ...... ...... 17、(15分)(可能有多种解法) [证明]把这些小三角形的边进行赋值：边的端点同色的，赋值0；边的端点不同色的，赋值1．于 是每个小三角形的三边之和有如下三种情形：(3分) (1)三顶点都不同色的，和为3； (2)恰有两顶点同色的，和为2； (3)三顶点都同色的，和为0．(6分) 设所有小三角形的边赋值之和为S，上述三种情形的三类小三角形的个数分别为a，b，c， 于是S=3a+2b+0c=3a+2b．(9分) 而注意到所有小三角形的边的赋值之和中，除了AB，BC，CA边外，其余的边都被算了两 次，所以它们赋值之和为偶数，再加上AB，BC，CA三边赋值之和为3，所以S是奇数．(14分) 因此a是奇数．即三顶点都不同色的小三角形总数为奇数．(15分) 18、(15分)(可能有多种解法) 22?44bcbc??((dd??aa))2?44bcbc??((cc??bb))2?((bb??cc))2． ??[解](a?d)2?4ad?(d?a)2?∴2k?2m．∴k>m．(2分) 把d?2k?a,c?2m?b，代入ad=bc，有 a(2k?a)?b(2m?b)(1)， 由(1)可得b?2m?a?2k?b2?a2．(4分) 即2mb?2ka?b2?a2，2m(b?2k?ma)?(b?a)(b?a) (2)(5分) 已知a，b都是奇数，所以a+b，a-b都是偶数，又(a?b)?(a?b)?2a是奇数的2倍，故 b+a，b-a中必有一个不是4的倍数．(7分) ?b?a?2m?1e?b?a?2m?1e由(2)必有?或?．其中，e，f为正整数，且ef?b?a?2k?m是奇 ?b?a?2f?b?a?2f数．[(a?b)?(a?b)?2mef，与(2)比较可得](9分) ef??bb??22a??bb??aa??22f．从而e=1，f?b?a?2k?m． a由于k>m，故ef?b?a?2m?1考虑前一情况，有?(11分) k?m?b?a?2f?2(b?a?2)由第二式可得 b?a?2k?1?ma，故 2m?1?2k?1?ma，所以奇数a=1．(13分)对于后一情况，可作类似的讨论．(15分) ...... ...... 19、(15分)(解法可能有多种，给分分为4档：0分、5分、10分、15分， 注：学生可能用“易证”、“可证”等词骗取分数，此题需慢改) (5分) (10分) (15分 ) ...... ...... (5分) 第20题 (10分) (15分) 20、(15分)(解法可能有多种，给分分为4档：0分、5分、10分、15分， 注：学生可能用“易证”、“可证”等词骗取分数，此题需慢改) [证明] (10分) ...... ...... (5分) (15分) 略(15分) ...... 分) (5
精编2024级浙江省温州中学自主招生九年级数学模拟试卷有标准答案
