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课时跟踪检测（十五）
A组——12＋4提速练
一、选择题
1．(2017·沈阳质检)已知直线l：y＝k(x＋3)和圆C：x＋(y－1)＝1，若直线l与圆C相切，则k＝( )
A．0 C.
3
或0 3
B.3 D.3或0
2
2
|－1＋3k|
解析：选D 因为直线l与圆C相切，所以圆心C(0,1)到直线l的距离d＝＝1，2
1＋k解得k＝0或k＝3，故选D.
2．(2017·陕西质检)圆：x＋y－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是( ) A．1＋2 C．1＋
2
2
2
2
2
B．2 D．2＋22
2
解析：选A 将圆的方程化为(x－1)＋(y－1)＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心|1－1－2|
到直线x－y＝2的距离d＝＝2，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝2
2＋1.
3．(2017·洛阳统考)直线l：y＝kx＋1与圆O：x＋y＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“|AB|＝2”的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2
22
2
解析：选A 依题意，注意到|AB|＝2＝|OA|＋|OB|等价于圆心O到直线l的距离等于即有2
＝，k＝±1.因此，“k＝1”是“|AB|＝2”的充分不必要条件． 2
2k＋11
2
，2
4．若三条直线l1：4x＋y＝3，l2：mx＋y＝0，l3：x－my＝2不能围成三角形，则实数m的取值最多有( )
A．2个 C．4个
B．3个 D．6个
解析：选C 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若
l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－；若l2∥l3，则m的值不存在；若三条直线相交于同一点，
1
4
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5
则m＝1或－.故实数m的取值最多有4个，故选C.
3
5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为( )
A．x＋y－2x＋4y＝0 C．x＋y＋2x－4y＝0
2
2
2
2
B．x＋y＋2x＋4y＝0 D．x＋y－2x－4y＝0
2
2
22
解析：选C 由(a－1)x－y＋a＋1＝0得(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，由x＋1＝0且x＋y－1＝0，解得x＝－1，y＝2，即该直线恒过点(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)＋(y－2)＝5，即x＋
2
2
2
y2＋2x－4y＝0.
6．与直线x＋y－2＝0和曲线x＋y－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )
A．(x＋2)＋(y－2)＝2 B．(x－2)＋(y＋2)＝2 C．(x＋2)＋(y＋2)＝2 D．(x－2)＋(y－2)＝2
解析：选D 由题意知，曲线方程为(x－6)＋(y－6)＝(32)，过圆心(6,6)作直线x＋y－2＝0的垂线，垂线方程为y＝x，则所求的最小圆的圆心必在直线y＝x上，又圆心(6,6)到直线x|6＋6－2|52－32＋y－2＝0的距离d＝＝52，故最小圆的半径为＝2，圆心坐标为(2,2)，
22所以标准方程为(x－2)＋(y－2)＝2.
7．已知圆C关于x轴对称，经过点(0,1)，且被y轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( )
A．x＋?y±C.?x±
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
?
?3?24?＝ 3?3
B．x＋?y±D.?x±
2
2
2
2
??3?21?＝ 3?3
??43?22
?＋y＝3 3???3?221?＋y＝3 3?
解析：选C 设圆的方程为(x±a)＋y＝r(a>0)，圆C与y轴交于
A(0,1)，B(0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA＝∠ACB＝×120°
|OA|13
60°，则tan 60°＝＝＝3，所以a＝|OC|＝，即圆心坐标
|OC||OC|3
43?23?243?2???222
?±，0?，r＝|AC|＝1＋?±?＝3.所以圆的方程为?x±?＋y＝3，故选C.
3??3??3??
1
212
＝
为
8．(2017·合肥质检)设圆x＋y－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)且与圆C交于
22
A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为( )
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A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B．3x＋4y－12＝0或x＝0 C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
解析：选B 由题可知，圆心C(1,1)，半径r＝2.当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有3
方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.
4
综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0，故选B.
9．(2018届高三·湖北七市(州)联考)关于曲线C：x＋y＝1，给出下列四个命题： ①曲线C有两条对称轴，一个对称中心； ②曲线C上的点到原点距离的最小值为1； ③曲线C的长度l满足l>42；
④曲线C所围成图形的面积S满足π D．1 2 4 |k＋2| 3 ＝1，解得k＝－，所以直线l的 4k2＋1 解析：选A ①将(x，－y)，(－x，y)，(－x，－y)代入，方程不变，则可以确定曲线关于 x轴，y轴对称，关于原点对称，故①是真命题． ②由x＋y＝1得0≤x≤1,0≤y≤1，故x＋y≥x＋y·y＝x＋y＝1，即曲线C上的点到原点的距离为x＋y≥1，故②是真命题． ③由②知，x＋y＝1的图象位于单位圆x＋y＝1和边长为2的正之间，如图所示，其每一段弧长均大于2，所以l>42，故③是真命题． ④由③知，π×1 10．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x＋y－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4， 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 4 方形 命题 a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( ) A．2 C．6 B．42 D．210 2 2 解析：选C 由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x＋y－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，解得a＝－1，∴A(－4，－1)，|AC|＝(－4－2)＋(－1－1)＝40.又r＝2，∴|AB|＝40－4＝36，即|AB|＝6. 11．两个圆C1：x＋y＋2ax＋a－4＝0(a∈R)与C2：x＋y－2by－1＋b＝0(b∈R)恰有三条 - 1 -文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 公切线，则a＋b的最小值为( ) A．32 C．6 B．－32 D．－6 2 2 解析：选B 两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C1：(x＋a)＋y＝4，圆C2：x＋(y－b)＝1，所以C1(－a,0)，C2(0，b)，|C1C2|＝a＋b＝2＋1＝3，即a＋b＝9. 2 2 2 2 2 2 ?a＋b?2≤a＋b，得(a＋b)2≤18，所以－32≤a＋b≤32，当且仅当“a＝b”时等号成由??2?2? 立．所以a＋b的最小值为－32. 12．若圆(x－3)＋(y＋5)＝r上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是( ) A．(4,6) C．(4,5) B．[4,6] D．(4,5] 2 2 2 22 |m＋2|解析：选A 设直线4x－3y＋m＝0与直线4x－3y－2＝0之间的距离为1，则有＝1， 5 m＝3或m＝－7.圆心(3，－5)到直线4x－3y＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x－3y－7＝0的距离等于4，因此所求圆半径的取值范围是(4,6)，故选A. 二、填空题 13．(2017·河北调研)若直线l1：y＝x＋a和直线l2：y＝x＋b将圆(x－1)＋(y－2)＝8分成长度相等的四段弧，则a＋b＝________. 解析：由题意得直线l1和l2截圆所得弦所对的圆心角相等，均为90°，因此圆心到两直线的距离均为 2|1－2＋a||1－2＋b|2222r＝2，即＝＝2，得a＋b＝(22＋1)＋(1－22)＝18. 222 2 2 2 2 答案：18 14．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的45 距离为，则圆C的方程为____________． 5 解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝ 2a2 452＝，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝2＋ 55 2 5 2 ＝3，所以圆C的方 程为(x－2)＋y＝9. 答案：(x－2)＋y＝9 15．设直线l：y＝kx＋1被圆C：x＋y－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程为____________． 解析：因为直线l恒过定点(0,1)，由x＋y－2x－3＝0变形为(x－1)＋y＝4，易知点(0,1) - 1 -文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 2 2 2 2 2 2 2 2 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 1－022 在圆(x－1)＋y＝4的内部，依题意，k·＝－1，即k＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1. 0－1 答案：y＝x＋1 16．已知A(－2,0)，B(0,2)，实数k是常数，M，N是圆x＋y＋kx＝0上不同的两点，P是圆x＋y＋kx＝0上的动点，如果M，N关于直线x－y－1＝0对称，则△PAB面积的最大值是________． 解析：由题意知圆心?－，0?在直线x－y－1＝0上，所以－－1＝0，解得k＝－2，得圆心 2?2?的坐标为(1,0)，半径为1.又知直线AB的方程为x－y＋2＝0，所以圆心(1,0)到直线AB的最大3232 距离为，所以P到直线AB的最大距离，即△PAB的AB边上的高的最大值为1＋，又|AB| 221?32? ＝22，所以△PAB面积的最大值为×22×?1＋?＝3＋2. 22?? 答案：3＋2 B组——能力小题保分练 1．(2017·石家庄模拟)若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x＋y＝4截得的弦长为23，则t＝a1＋2b取得最大值时a的值为( ) 1 A. 2C.3 4 B.3 2 2 2 2 2 2 2 2 ?k? k3D. 4 2 2 解析：选D 因为圆心到直线的距离d＝ 4a＋b，则直线被圆截得的弦长L＝2r－d＝2 22 2 41112222 4－23，所以4a＋b＝4.则t＝a1＋2b＝·(22a)·1＋2b≤×2＝24a＋b22222 × [ 2 22a2 2 ＋1＋2b22 ]＝ 142 ·[8a＋1＋2(4－4a)]＝ 22 942 ，当且仅当 ?8a＝1＋2b，? ?2 2 ??4a＋b＝4 3 时等号成立，此时a＝，故选D. 4 ―→22 2．已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x＋y＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|OA3――→→ ＋OB|≥|AB|，那么k的取值范围是( ) 3 A．(3，＋∞) C．[2，22) B．[2，＋∞) D．[3，22) - 1 -文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
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